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【解題研究】"角度線"解磁場旋轉圓問題

作者：由閒敲棋子落燈hua 發表于體育時間：2022-03-30

原題［2022。溫州二模］：

如圖所示，直角座標系中，

軸左側有一半徑為

的圓形勻強磁場區域，與

軸相切於

點，

點座標

$\left( {0,\frac{{\sqrt 3 }}{2}a} \right)$

。第一象限內也存在著勻強磁場，兩區域磁場的磁感應強度大小均為

，方向垂直紙面向內。

圓形磁場區域下方有兩長度均為

的金屬極板

，兩極板與

軸平行放置且右端與

軸齊平。

現僅考慮紙面平面內，在極板

的上表面均勻分佈著相同的帶電粒子，每個粒子的質量為

，電量為

。

兩極板加電壓後，在板間產生的勻強電場使這些粒子從靜止開始加速，並順利從網狀極板

穿出，然後經過圓形磁場都從

點進入第一象限。

其中部分粒子打在放置於

軸的感光板

上，感光板的長度為

，厚度不計，其左端

點座標為

$\left( {\frac{1}{2}a,0} \right)$

打到感光板上的粒子立即被吸收，從第一象限的磁場射出的粒子不再重新回到磁場中。

不計粒子的重力和相互作用力，忽略粒子與感光板碰撞的時間

略過（1）（3），

已知模型為磁聚焦

（2）。在感光板上某區域內的同一位置會先後兩次接受到粒子，該區域乘為

"二度感光區"

求：

1。“二度感光區”的長度

2。打在“二度感光區”的粒子數

${n_1}$

與打在整個感光板上的粒子數

${n_2}$

的比值

$\frac{{{n_1}}}{{{n_2}}}$

第一象限，旋轉圓：

https：//www。zhihu。com/video/1493216924858933248

可見其與 #FormatImgID_29# 軸的交點先往右,再往左

但實際做題中我們不可能在考場上用ggb畫圖來解題

我們採用圓不動,直線動的相對運動解法

即"旋轉角度線":

設圓與

軸的交點為

在圓向下旋轉時，

點相對於圓上移

故可直接看作圓不動直線在上移：

其相對

的角度即圓的旋轉角。

可見

$AP \to A{P_1}$

：交點先左移後右移動

$AP \to A{P_2}$

：

$AP$

恰好轉過了

${90^ \circ }$

再透過磁聚焦前的極板計算粒子數：

粒子兩端極限位置經過：

設旋轉線裝過的角（圓所轉過的角）為

$\alpha$

則

$\alpha \in \left[ {0,{{60}^ \circ }} \right]$

為“二度感光區”的粒子

而對於總粒子:

#FormatImgID_50# 恰好等於 #FormatImgID_51#

同時可知道

當圓過點

時，如圖所示

虛線為圓的圓心線，速度與其垂直為

，

故速度相較於原先的沿 #FormatImgID_56# 軸正方向出變為 #FormatImgID_57#

故其範圍為

$\alpha \in \left[ {0,{{120}^ \circ }} \right]$

——其不能直接看的原因可能是

優弧和劣弧的區別

所以還是要把各點的速度方向找出

再將

$\alpha$

反映到最初發射粒子的極板上來：

假設粒子射出的位置距

軸為

透過洛倫茲力分量式:

${mv\left( {1 - \cos \alpha } \right) = qBx}\\$

即有

$x = \frac{{mv}}{{qB}}\left( {1 - \cos \alpha } \right) = R\left( {1 - \cos \alpha } \right)$

$A.\alpha = 0,x = 0$

$B.\alpha = {60^ \circ },x = \frac{1}{2}R$

$C.\alpha = {120^ \circ },x = \frac{3}{2}R$

反映在極板各處:

故

${\frac{{{n_1}}}{{{n_2}}} = \frac{{\left| {AB} \right|}}{{\left| {AC} \right|}} = \frac{{\frac{1}{2}R}}{{\frac{3}{2}R}} = \frac{1}{3}}\\$

標簽：粒子感光極板 FormatImgID 板上

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