隨機動力學（4）---Langevin 方程

作者：由愚蠢如我發表于體育時間：2021-12-26

在物理學中，Langevin方程是一個很重要的隨機微分方程，描述了系統在受到確定性和波動（“隨機”）力的組合時如何演化。Langevin方程中的因變數通常是集體（宏觀）變數，與系統的其他（微觀）變數相比變化緩慢。快速（微觀）變數是朗之萬方程隨機性質的原因。

1。Brown運動

2。Langevin方程

1.Brown運動

在顯微鏡下觀察懸浮在液體中的微小顆粒，可以看見顆粒不停地進行著無規律運動。布朗顆粒是非常微小的宏觀顆粒，其直徑的典型大小為

$10^{-7}m\sim10^{-6}m$

。顆粒不斷受到液體介質分子碰撞。在任一瞬間，一個顆粒受到介質分子從各方向的碰撞作用力一般說來是互不平衡的，顆粒就順著淨作用力的方向運動。由於分子運動的無規性，施加在顆粒上的淨作用力漲落不定，力的方向與大小都是不斷變化，顆粒就不停地進行著無規律運動。

無規律的分子運動

下面從擴散的觀點研究布朗運動，不妨設流體中布朗粒子流密度（單位時間內透過單位截面的顆粒數）為

，l粒子數密度為

，由Fick‘s laws

［1］

可知

$j(r,t)=-D\nabla n(r,t)$

（1）

其中D代表介質的擴散係數，由流體的連續性方程，即

$\nabla \cdot j(r,t)+\frac{\partial n(r,t)}{\partial t}=0$

（2）

將式（1）代入式（2）後，可獲得

$\nabla^2n(r,t)-\frac{1}{D}\frac{\partial n(r,t)}{\partial t}=0$

（3）

設t=0時，顆粒均勻位於r=0處，即

$n(r,0)=N\delta(r)$

。擴散方程（3）在初始條件下的解為

$n(r,t)=\frac{N}{(4\pi Dt)^{3/2}}e^{-\frac{r^2}{4Dt}}$

（4）

計算對於顆粒的統計特性，即

$<r(t)>=0,<r^2(t)>=\frac{1}{N}\int_{-\infty}^{+\infty}r^2n(r,t)dr=2Dt$

最初集聚在原點上的布朗粒子“系綜”隨著時間的增加而擴散出去，在任意時刻t它的擴充套件的性質和範圍分別由（4）式和（5）式所給定。擴散過程（很明顯，是不可逆的）為我們描繪了一幅關於系綜內單粒子行為的非常好的影象。

然而，要記住的重要事情是，無論我們把注意力放在系綜中的單個粒子身上，或是作為一個整體的系綜來看，這個現象的最終根源在於布朗粒子受到流體中分子永不停息、或多或少是隨機的碰撞。換句話說，

這個現象的不可逆的特徵歸根到底是由於流體分子施加於布朗粒子上的隨機漲落力所引起的

。於是這就導致另一種系統的、廣義的布朗運動理論，即Langevin方程。

為了簡單起見，下面只考慮粒子的運動在一個水平方向的投影。

設粒子的質量為m，在時刻t粒子的座標為

，

$\mathscr{F}(t)$

是由於流體分子不停地碰撞對粒子的作用力。

$\mathscr{F}(t)$

由兩部分組成：

(i).

一個為“平均力”部分，它表示粒子所受的黏滯阻力

$-\frac{v}{B}$

或

$-\alpha v$

，其中B是系統的遷移率，即粒子由於受到單位“外”力作用所獲得的漂移速度。由Stokes’law

［2］

，可得

$B=\frac{1}{\alpha}=\frac{1}{6\pi \eta a}$

（5）

(ii).

另一部分為漲落力

，相當於分子對於靜止的布朗粒子的碰撞淨作用力，其平均值

。

由牛頓第二定理可獲得

$m\frac{d^2}{dt^2}x=\mathscr{F}(t)+\mathscr{R}(t)=-\alpha \frac{d}{dt}x+F(t)+\mathscr{R}(t)$

（6）

方程式（6）稱之為

Langevin方程，

其中

$\mathscr{R}(t)$

為此外可能存在的其他外力，例如電磁力。

由於積分關係式

$\dot xx=\frac{1}{2}\frac{d}{dt}x^2 ,\ddot xx=\frac{1}{2}\frac{d^2}{dt^2}x^2-\dot x^2$

（7）

把式（7）代入式（6），並且取該積的系綜平均

$\frac{m}{2}\frac{d}{dt}\left( \frac{d}{dt}\bar{x}^2 \right)-m\bar{\dot x^2}=-\frac{\alpha}{2}\frac{d}{dt}\bar{x^2}+\bar{Fx}$

（8）

漲落力

與粒子的位置無關，因此

的平均值等於

的平均值與

的平均值的乘積，即

$\bar{xF}=\bar{x} \cdot\bar{F}=0$

假設Maxwellian 分佈成立，在粒子與介質達到熱平衡的情況下，根據能量均分定理粒子在x方向的平均動能為

$\frac{1}{2}m\bar{\dot x^2}=\frac{1}{2}kT$

（9）

其中k為玻爾茲曼常數，T為溫度。並且將式（9）代入式（8），即

$\frac{m}{2}\frac{d}{dt}\left( \frac{d\bar{x^2}}{dt} \right)+\frac{\alpha}{2}\frac{d\bar{x^2}}{dt}=kT$

（10）

不妨設

$d\bar{x^2}/dt=u$

，方程式（10）可以改寫為

$\frac{m}{2}\frac{du}{dt}+\frac{\alpha}{2}u=kT$

（11）

求解式（11），由於

$\alpha/m$

很小，整理可得

$u=Ce^{-\alpha t/m}+\frac{2kT}{\alpha}=\frac{2kT}{\alpha}$

（12）

我們注意到，忽略了式（12）中的指數項，意味著忽略了布朗粒子的

慣性

的影響。

即

$\bar{x^2}=\frac{2kT}{\alpha}t$

對比與擴散角度描述的brown運動，可獲得關係式

$D=\frac{kT}{\alpha}=BkT$

（13）

式（13）為Einstein relation

［3］

，可見介質黏滯的最終起因（以及擴散的起因）就在於流體分子不停地運動所引起的隨機漲落力。

愛因斯坦、斯莫陸綽斯基和朗之萬等發展的布朗運動理論，不僅正確地說明了布朗運動的本質，而且預言了布朗運動的一系列特性。這些預言得到皮蘭實驗的完全證實。布朗運動是當時能夠以最直接的方式把分子運動顯示出來的物理過程。這些研究對物質原子論的確立曾經起過重要的歷史作用。布朗運動的研究為隨機過程的研究開闢了道路。

2.Langevin方程

對於式（6）整理，有

$\frac{d}{dt}v=-\frac{v}{\tau}+L(t)，\bar{L(t)}=0$

（14）

兩端同時積分，整理有

$v(t)=v(0)e^{-t/\tau}+e^{-t/\tau}\int_{0}^{t}e^{u/\tau}L(u)du$

（15）

因此，粒子的漂移速度

是一個與時間有關的漲落函式。考慮均方速度

（式16），即

$<v^2(t)>=v^2(0)e^{-2t/\tau}+2e^{-2t/\tau}[v(0)\int_{0}^{t}e^{u/\tau}<L(u)>du]+e^{-2t/\tau}\int_{0}^{t}\int_{0}^{t}e^{(u_{1}+u_{2})/\tau}<L(u_{1})L(u_{2})>du_{1}du_{2}$

由於

，則均方速度

的第二項為零，其中不妨設第三項中的二重積分為

，即

$I=\int_{0}^{t}\int_{0}^{t}e^{(u_{1}+u_{2})/\tau}<L(u_{1})L(u_{2})>du_{1}du_{2}=\int_{0}^{t}\int_{0}^{t}e^{(u_{1}+u_{2})/\tau}K(u_{2}-u_{1})du_{1}du_{2}$

二重積分求解過程

將其結果代入式（16），整理可得

為了獲得量

隨時間t變化方式的典型描述，透過

去布朗顆粒的資料

［4］

布朗粒子的均方速度與時間曲線

布朗粒子的均方位移與時間曲線

對於兩者極限狀態，通關分析有

1。對於

$t\ll\tau$

，粒子的運動具有

可逆性

，那時

$<r^{2}>\simeq v^2(0)t^2$

1。對於

$t\gg\tau$

，粒子的運動具有

不可逆性

，那時

$<r^{2}>\simeq6BkTt=\frac{6kT\tau }{m}t$

可見布朗運動具有

耗散

屬性。

更多形式的Langevin 方程可見之後的分享。

參考

Fick‘s laws of diffusion

https：//en。wikipedia。org/wiki/Fick%27s_laws_of_diffusion

Stokes’law

https：//en。wikipedia。org/wiki/Stokes%27_law

Einstein relation （kinetic theory）

https：//en。wikipedia。org/wiki/Einstein_relation_（kinetic_theory）

微粒資料

https：//baike。sogou。com/v399147。htm

標簽：粒子顆粒布朗運動 Langevin 布朗

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