圓錐曲線5—雙曲線的焦點三角形

作者：由 Sunsnow 發表于體育時間：2022-01-20

本系列將對圓錐曲線焦點三角形定義及面積周長等計算公式作以推導。讀者在熟練推導後可直接將計算公式記住，這樣便可提高選填題的解題速度。

本文對雙曲線焦點三角形進行介紹，雙曲線的焦點三角形是以雙曲線兩焦點及雙曲線上任意一點所構成的三角形，其幾何度量（面積、周長等）有諸多簡潔的性質。下面做詳細介紹。

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數學那些事Sunsnow

。

1 雙曲線焦點三角形

定義

雙曲線上任意一點

與雙曲線兩焦點

、

構成的

$\Delta P F_{1} F_{2}$

稱為焦點三角形，其中，點

不在直線

上，

$\angle F_{1} P F_{2}=\theta$

，

$\angle P F_{1} F_{2}=\alpha$

，

$\angle P F_{2} F_{1}=\beta$

，圓

為焦點三角形的內切圓，

為內切圓半徑，如下圖所示。

2 幾何度量

(1) 面積

$S_{\Delta P F_{1} F_{2}}$

焦點三角形

$P F_{1} F_{2}$

的面積為

$\color{red}{S_{\Delta P F_{1} F_{2}}=b^{2} \cot \frac{\theta}{2}} \\$

證明：以半實軸為

，半虛軸為

的雙曲線為例進行證明。設

，

，則三角形

$P F_{1} F_{2}$

的面積可表示為

$S_{\Delta P F_{1} F_{2}}=\frac{1}{2} P F_{1} \cdot P F_{2} \cdot \sin \theta=\frac{1}{2} m n \sin \theta \\$

而根據餘弦定理有

$\cos \theta=\frac{P F_{1}^{2}+P F_{2}^{2}-F_{1} F_{2}^{2}}{2 P F_{1} \cdot P F_{2}}=\frac{m^{2}+n^{2}-4 c^{2}}{2 m n} \\$

而

$\begin{aligned} \cos \theta &=\frac{m^{2}+n^{2}-4 c^{2}}{2 m n}=\frac{(m-n)^{2}+2 m n-4 c^{2}}{2 m n} \\ &=\frac{(2 a)^{2}+2 m n-4 c^{2}}{2 m n}=1-\frac{2 b^{2}}{m n} \end{aligned} \\$

因此

$m n=\frac{2 b^{2}}{1-\cos \theta} \\$

可得三角形

$P F_{1} F_{2}$

的面積為

$\begin{aligned} S_{\Delta P F_{1} F_{2}} &=\frac{1}{2} m n \sin \theta \\ &=\frac{1}{2} \frac{2 b^{2}}{1-\cos \theta} \sin \theta=b^{2} \frac{2 \sin \frac{\theta}{2} \cos \frac{\theta}{2}}{1-\left(1-2 \sin ^{2} \frac{\theta}{2}\right)} \\ &=b^{2} \cot \frac{\theta}{2} \end{aligned} \\$

(2) 離心率

焦點三角形

$P F_{1} F_{2}$

的離心率為

$\color{red}{e=\frac{\sin \theta}{|\sin \alpha-\sin \beta|}=\frac{\sin (\alpha+\beta)}{|\sin \alpha-\sin \beta|}=\frac{\sin \frac{\alpha+\beta}{2}}{\left|\sin \frac{\alpha-\beta}{2}\right|}} \\$

證明：在

$\Delta P F_{1} F_{2}$

中應用正弦定理有

$\frac{P F_{1}}{\sin \beta}=\frac{P F_{2}}{\sin \alpha}=\frac{F_{1} F_{2}}{\sin \theta}=\frac{F_{1} F_{2}}{\sin (\alpha+\beta)} \\$

於是

$\left|\frac{P F_{1}-P F_{2}}{\sin \alpha-\sin \beta}\right|=\frac{F_{1} F_{2}}{\sin (\alpha+\beta)} \\$

因此

$\frac{2 a}{|\sin \alpha-\sin \beta|}=\frac{2 c}{\sin (\alpha+\beta)} \\$

那麼雙曲線離心率為

$\begin{aligned} e &=\frac{c}{a}=\frac{\sin (\alpha+\beta)}{|\sin \alpha-\sin \beta|} \\ &=\frac{2 \sin \frac{\alpha+\beta}{2} \cos \frac{\alpha+\beta}{2}}{2 \cos \frac{\alpha+\beta}{2}\left|\sin \frac{\alpha-\beta}{2}\right|}=\frac{\sin \frac{\alpha+\beta}{2}}{\left|\sin \frac{\alpha-\beta}{2}\right|} \end{aligned} \\$

(3)

點縱座標

$y_{P}$

與

$\theta$

之間的關係

焦點三角形

$P F_{1} F_{2}$

的

點縱座標

$y_{P}$

與

$\theta$

之間的關係為

$\color{red}{\left|y_{P}\right|=\frac{b^{2}}{c} \cot \frac{\theta}{2}} \\$

證明：由於三角形面積為

$S_{\Delta P F_{1} F_{2}}=b^{2} \cot \frac{\theta}{2}=\frac{1}{2} F_{1} F_{2}\left|y_{P}\right|=c\left|y_{P}\right| \\$

因此

$\left|y_{P}\right|=\frac{b^{2}}{c} \cot \frac{\theta}{2} \\$

(4) 內切圓與實軸切點為雙曲線頂點，且

位於雙曲線哪一支，切點就為哪一支的頂點，同時便能得到內切圓圓心橫座標為

$\pm a$

證明：以

位於雙曲線右支為例進行證明，如下圖所示。

首先根據內切圓性質容易得到

$\begin{aligned} &A F_{1}=C F_{1} \\ &A F_{2}=B F_{2} \\ &P B=P C \end{aligned} \\$

那麼可得如下關係

$\begin{aligned} A F_{1}-A F_{2} &=C F_{1}-B F_{2} \\ &=\left(C F_{1}+C P\right)-\left(B F_{2}+B P\right) \\ &=P F_{1}-P F_{2} \\ &=2 a \end{aligned} \\$

由雙曲線定義知，點

在雙曲線右支上，同時點

也在實軸上，因此

為雙曲線右支頂點，同時可得到此時圓心

橫座標為

；點

位於雙曲線左支的證明類似。

3 例題

例1(2020年新課標III卷理數第11題)

設雙曲線

$C: \frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$

的左右焦點分別為

，

，離心率為

$\sqrt{5}$

。

是

上一點，且

$F_{1} P \perp F_{2} P$

，若

$\Delta P F_{1} F_{2}$

的面積為

，則

（）。

$\begin{array}{ll} A & 1 && B & 2 && C & 4 && D & 8 \end{array} \\$

解：如下圖所示，

$\theta = 90 ^{\circ}$

。

由性質（1）知

$\Delta P F_{1} F_{2}$

的面積為

$S_{\Delta P F_{1} F_{2}}=b^{2} \cot \frac{\theta}{2}=b^{2}=4 \\$

而由題知離心率為

$\sqrt{5}$

，即

$e=\frac{c}{a}=\sqrt{5} \\$

再根據等式

解得

$a = 1 \\$

因此本題選

。

例2 (自行改編的一道題目)

已知

為雙曲線

$C: \frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$

的右焦點，過原點的直線

與雙曲線交於

，

兩點，且

$M F_{2} \perp N F_{2}$

，

$\Delta M N F_{2}$

的面積為

，則該雙曲線的離心率為（）。

解：如下圖所示，其中，

$\angle M F_{2} N=90^{\circ}$

。

顯然，

，而

$\Delta M F_{2} N$

為直角三角形，於是

$O F_{2}=\frac{1}{2} M N=M O=N O \\$

又因為

，即四邊形對角線相等且互相平分，於是四邊形

$M F_{2} N F_{1}$

為矩形。那麼

$\theta = 90^{\circ}$

。因此

$S_{\Delta M N F_{2}}=b^{2} \cot \frac{\theta}{2}=b^{2}=S_{\Delta M N F_{2}}=a b \\$

即

，那麼該雙曲線的離心率為

$e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}{a}=\sqrt{2} \\$

4 總結

本文的重點在於這些性質的推導過程，且只對部分性質的相關例題進行了解答。綜合上面有關雙曲線焦點三角形的常用結論的推導及例題發現，雙曲線的焦點三角形具有很多簡潔的性質，讀者可在熟練推導過後將其記住，這樣在解決選填題時便可節省大量時間；同時對推導過程的熟練運用也將在解答題中提供必要的思路。

標簽：雙曲線三角形焦點內切圓心率

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