學習超聲訊號消噪
訊號在採集和傳輸過程中，由於外界環境干擾和本身儀器的影響，難免會有噪聲夾雜在其中，而噪聲是影響目標訊號檢測與識別效能的一個重要因素，特別是在一些高精度資料的分析中，哪怕是很微弱的噪聲都會對分析結果產生巨大影響，所以在訊號分析過程中，首先要做的就是對訊號進行去噪處理。
超聲訊號消噪從
小波變換
、
自適應小波熵
和
小波熵與頻帶閾值的探地雷達訊號去噪
展開。
傅立葉變換基本思想：
將訊號分解成一系列不同頻率的連續的正弦波的疊加。缺陷：丟掉了時間資訊，無法根據變換結果判斷一個特定的訊號是什麼時候發生的。
短時傅立葉變換基本思想：
由於傅立葉變換適合分析平穩訊號。實際上中大數訊號含有大量的非平穩訊號，例如：突變，奇異，事件的起始與終止等情況。這些情況反映了訊號的重要特徵，而這些物件的頻域特性都隨時間而變化。分析他們需要提取一個時間段的頻域資訊或某一頻率段所對應的時間資訊。那如何完成只分析資料中的一小部分呢？
給訊號加上一個小窗，主要集中在對小窗內的訊號進行變換，因此反映了訊號的區域性特徵。
缺陷：
其窗函式的大小形狀均與
時間頻率無關
，保持固定不變，對於分析時變訊號不利。
小波變換定義及特點：
小波（Wavelet），即小區域的波，是一種特殊的
長度有限、平均值為0
的波形。
小，“即在時域都具有緊支集或近似緊支集”。正負交替的“波動性”，也即直 流分量為零。
繼承和發展了短時傅裡變換的區域性化思想。
克服了窗函式不隨頻率變化、缺乏離散正交基的缺點。
小波變換對比傅立葉變化的優點：
傅立葉分析所用的正弦波在時間上沒有限制，從負無窮到正無窮，但小波傾向於
不規則
與
不對稱
。
FT將訊號分解成一系列不同頻率正弦波的疊加，
小波分析是將訊號分解成一系列小波函式的疊加
。而這些小波函式都是由一個母小波函式經過平移與尺度伸縮得來的。
用不規則的小波函式來逼近尖銳變化的訊號顯然要比光滑的正弦曲線要好，同樣，訊號區域性的特性用小波函式來逼近顯然要比光滑的正弦函式來逼近要好。
小波變換的步驟：
1。首先選擇一個小波基函式，固定一個尺度因子，將它與訊號的初始段進行比較；
2。透過CWT的計算公式計算小波係數（反映了當前尺度下的小波與所對應的訊號段的相似程度）；
3。改變平移因子，使小波沿時間軸位移，重複上述兩個步驟完成一次分析；
4。增加尺度因子，重複上述三個步驟進行第二次分析；
5。迴圈執行上述四個步驟，直到滿足分析要求為止。
離散小波變換(DWT)：
在每個可能的縮放因子和平移引數下計算小波係數，其計算量相當巨大，如果縮放因子和平移引數選擇為2^j（j>0且為整數）的倍數，即只選用部分縮放因子和平移引數來進行計算，就會使分析的資料量大大減少。使用這樣的縮放因子和平移引數的小波變換稱為雙尺度小波變換，通常離散小波變換就是指雙尺度小波變換。實際應用中，訊號的低頻分量往往是最重要的，而高頻分量只起一個修飾的作用。如同一個人的聲音一樣，把高頻分量去掉後，聽起來聲音會發生改變，但還能聽出說的是什麼內容，但如果把低頻分量刪除後，就會什麼內容也聽不出來了。
多級訊號分解示意圖 （a）訊號分解（b）小波分樹（c）小波分解樹
小波重構：
將訊號的小波分解的分量進行處理後，一般還要根據需要把訊號恢復出來，也就是利用訊號的小波分解的係數還原出原始訊號，這一過程稱為小波重構（Wavelet Reconstruction）或叫做小波合成（Wavelet Synthesis）。這一合成過程的數學運算叫做逆離散小波變換（IDWT）
小波重構演算法示意圖
由小波分解的近似係數和細節係數可以重構出原始訊號。同樣，可由近似係數和細節係數分別重構出訊號的近似值或細節值，這時只要近似係數或細節係數置為零即可。
重構近似和細節訊號示意（a）重構近似訊號 （b）重構細節訊號
多層重構：重構出訊號的近似值A1與細節值D1之後，則原訊號可用A1+D1=S重構出來。對應於訊號的多層小波分解，小波的多層重構圖：
重構過程為：A3+D3=A2 ；A2+D2=A1；A1+D1=S
小波分析去噪原理：
有用訊號通常表現為低頻訊號或是相對比較平穩。而噪聲訊號通常表現為高頻分解後，含噪部分主要集中在高頻小波係數中，並且，包含有用訊號的小波係數幅值較大，但數目少；而噪聲對應的小波係數幅值小，數目較多。
基於上述特點，可以應用門限閾值法對小波係數進行處理。（即對較小的小波係數置為0，較大的保留或削弱），然後對訊號重構即可達到消噪的目的。
小波分解結構示意圖
小波分解係數示意圖
小波變換消噪流程
小波除噪的具體步驟:
（1）對含噪訊號進行
預處理
，並進行小波分解。選擇小波確定分解的
層數N
，然後對訊號s進行N層分解。
（2）小波分解的高頻係數的
閾值量化
。對第一層到第N層高頻係數，選擇軟閾值或硬閾值量化處理。
（3）
一維小波重構
。根據小波分解的第N層低頻係數和第一層到第N層的高頻係數，進行一維重構。
在上面的步驟中，最為關鍵的就是
如何選取閾值和如何閾值量化
，從某種意義上講，它直接影響訊號去噪的質量。
閾值函式和閾值的選取：
1.閾值函式
閾值函式分為軟閾值和硬閾值兩種。設w為小波係數，w_λ閾值後的小波係數，λ為閾值。
（1）硬閾值（hard threshol ding）
當小波係數的絕對值大於等於給定閾值時，保持不變，而小於時，令其為0。即：
（2）軟閾值（soft threshol ding）
當小波係數的絕對值大於等於給定的閾值時，令其值為減去閾值；而小於時，令其為0 。即：
採用這種閾值方法去噪在實際應用中，已取得了較好的效果，但也存在著一些潛在的缺點，如硬閾值在閾值點不連續，重構可能產生一些震盪；軟閾值連續，但估計的小波係數和分解的小波係數有恆定的偏差，直接影響重構訊號對真實訊號的逼近程度。
2.閾值的選取
閾值的選擇是小波去噪和收縮最關鍵的一步，在去噪過程中閾值起著決定性的作用：如果太小，施加閾值後小波係數包含太多的噪聲分量，達不到去噪效果；反之，則去除了有用部分，使訊號失真。
（1）固定閾值（sqtwolog）
選取的演算法：
（2）Stein無偏似然估計閾值（ rigrsure’）
對於給定一個閾值t，得到它的似然估計，再將非似然的t最小化，就得到了所選的閾值。
（3）啟發式閾值（heursure‘）
它是前兩種閾值的綜合，是最優預測變數閾值選擇，如果信噪比很小時，無偏似然估計的誤差較大，此時，採用固定閾值。令：
進行比較，如果
， 時採用固定閾值，反之，選擇無偏似然估計。
（4）極大極小閾值（ minimaxi）
它的原理是令估計的最大風險最小化，其閾值選取的演算法是：
資訊熵：
資訊是我們一直在談論的東西，但資訊這個概念本身依然比較抽象。在百度百科中的定義：資訊，泛指人類社會傳播的一切內容，指音訊、訊息、通訊系統傳輸和處理的物件。但資訊可不可以被量化，怎樣量化？答案當然是有的，那就是“資訊熵”。早在1948年，夏農（Shannon）在他著名的《通訊的數學原理》論文中指出：“資訊是用來消除隨機不確定性的東西”，並提出了“資訊熵”的概念（借用了熱力學中熵的概念），來解決資訊的度量問題。
根據夏農（Shannon）給出的資訊熵公式，對於任意一個隨機變數X，它的資訊熵定義如下，單位為位元（bit）：
那資訊熵如何計算呢？舉個吳軍在《數學之美》中一樣的例子，假設世界盃決賽圈32強已經產生，那麼隨機變數“2018年俄羅斯世界盃足球賽32強中，誰是世界盃冠軍？”的資訊量是多少呢？
那麼上述隨機變數的資訊量是：
H=-（p1·logp1+p2·logp2+…p32·logp32）
其中，p1，p2，…，p32分別是這32強球隊奪冠的機率。
一是32強球隊奪冠機率相同時，H=5；二是奪冠機率不同時，H<5；三是H不可能大於5。
對於第一個結論：結果是很顯然的，奪冠機率相同，即每個球隊奪冠機率都是1/32，所以H=-（（1/32）·log（1/32）+（1/32）·log（1/32）+…+（1/32）·log（1/32））=-log（1/32）=log（32）=5（bit）
對於第二個結論和第三個結論：使用拉格朗日乘子法進行證明，詳見《求約束條件下極值的拉格朗日乘子法》。這實際上是說系統中各種隨機性的機率越均等，資訊熵越大，反之越小。
從夏農給出的數學公式上可以看出，資訊熵其實是一個隨機變數資訊量的數學期望。
小波熵的概念：
在資訊理論中，熵表示每個符號所提供的平均資訊量和信源的平均不確定性，它能提供關於訊號潛在的動態過程的有用資訊。事實上，對於一個單一頻率的週期訊號，除了包含這個典型訊號頻率的小波尺度，所有的其它小波係數幾乎都是零對於這個特殊的尺度，小波係數將接近於1，而此時訊號的熵值將接近於0或者是一個很小的值相反，由一個完全無序的過程生成的訊號
振動訊號經過小波變換後，對映到時間-尺度平面上，在任一時間間隔裡，可以在多個不同尺度（不同解析度）下觀察訊號的變化假設每一個尺度為一個訊號源，那麼，每個尺度上的小波係數相當於一個訊號源發出的訊息。這樣，根據小波變換系數，可以計算訊號的小波熵。
在傳統的統計分析方法中，往往直接根據訊號的機率分佈計算熵，可是假如異常訊號的幅值小而且持續時間短，那麼在訊號的統計分佈中所佔的比例小，從而容易被忽略。而小波交換可以放大某一區域性特性，因此在小波交換的基礎上，計算熵值就能發現訊號中微小而短促的異常，這就是多尺度下的小波熵。
小波熵和相對小波熵：
夏農（Shannon， 1948）關於熵的理論為分析和比較機率分佈提供了有用的工具它提供了對於任何分佈資訊的測量尺度，作者把小波熵（Wavelet Entropy）定義為
p本來是資訊理論中訊號的機率，這裡用相對能量來表示某一段訊號的能量強度比例上。
假設有兩組相對小波能量分佈的資料
和
，並且
和
的和都是1，這樣它們就可以被看是一組訊號的兩段或者兩組不同訊號在多尺度下的機率分佈。作者定義相對小波熵（Relalive Wavelet Entropy）
這就給出了分佈
和
的兩個機率分佈相似程度的測度。
小波熵與頻帶閾值的探地雷達訊號去噪：
假設探地雷達訊號是長度為N，時間域離散訊號s（n），被噪聲e（n）汙染，得到的含噪資料表示為
根據小波交換理論，f（n）的離散小波變換為
ψ（2^（-j） n-k） 為小波基函式，k為平移引數。小波基與訊號相似性越大，則小波變換後的訊號和噪聲頻譜重疊就越小，例子採用db4小波基。ω^f （j，k）為變換後的小波係數，分為細節係數和近似係數兩種，其中，高頻訊號包含在細節係數中，低頻訊號包含在近似係數中。由於小波變換是線性的，所以，含噪訊號f（n）的小波交換等於訊號s（n）與噪聲e（n）的小波訊號交換的和。
對式（1）來說，小波去噪的目的是抑制e（n）以儘可能地恢s（n）。首先對含噪訊號進行多尺度小波變換，在各尺度下用閾值處理以儘可能地提取訊號的小波係數而去除噪聲的小波係數，再透過逆變換重構訊號，達到去噪的目的。實際訊號中，噪聲通常分佈在高頻訊號（細節係數）中，純淨訊號通常分佈在低頻倍號（近似係數）中。
由於探地雷達訊號發射主頻己知，則可以根據小波分解的頻帶劃分（圖1）來判斷及某鳴頻帶下的細節係數能否作為有效訊號進行重構。
其中，f_s為探地雷達訊號的取樣頻率，節點（0，0）為待分解訊號，節點（m，n）為第m層分解的第n組係數，節點（m，0）為m尺度下的近似係數，表示低頻訊號，（m，1）為m尺度下的細節係數，表示高頻訊號。
小波分解尺度的頻帶劃分
熵和閾值的計算：
訊號的熵值大小反映了機率分佈的均勻性。把小波變換系數矩陣處理成一個機率分佈序列，所得熵值或反映了這個係數矩陣的稀疏程度，即小波熵。由小波變換框架理論可知，單一尺度下的小波能量為該尺度下小波係數的平方和：
訊號的總能量為各尺度下的小波能量和，即各分量功率和：
將每一尺度下的細節係數（高頻資訊量）均視為單獨的訊號源，把各層細節係數分成n個相等的小區間，N為是各層細節係數取樣點數，則每個區間有N/n取樣點，第i個子區間能量為：
熵和閾值的計算：
第i個子區間能量佔該尺度總能量的機率為
第i個子區間小波熵為：
選取熵值最大小
區間的細節係數平均值作為該尺度下的噪聲標準差σ_j，則閾值為
根據小波分解的頻帶劃分情況，確定有效閾值，即在雷達主頻頻帶以內的尺度中閾值視為有效而保留，頻帶以外的尺度閾值設為該層細節係數的最大值，即該尺度下的細節係數均不用於重構。
給原始訊號去除直達波後加高斯白噪聲，第四十道資料與其加噪後的訊號如圖所示。由於小波基與訊號相似性越大，則小波變換後的訊號和愛聲的頻譜重疊就越小，此處採用db4小波，分解尺度為8，用本文所述方法對該道訊號去噪。
可以看到，三種方法都能抑制噪聲，但固定閥值）使訊號失真嚴重（第40點到第650點），而頻帶值與模極大值去噪均能很好地保留原始訊號形態，而從5900點到520點，即訊號波峰處，頻帶值去噪與原始訊號形態更接近。
去噪結果及其對比圖
並用小波固定閾值（sqtwolog），模極大值等方法與之進行對比，用信噪比SNR和能量比例PER對消噪結果進行評估，去嗓訊號與原始訊號的信噪比越高，能量比例越大，則去訊號就越接近於原始訊號，降噪效果越好。
從信噪比和能量比例來看，相關性熵與頻帶閥值去噪結果信噪比SNR和能量比例PER值在三種方法中最大，設明該方法比其餘兩種方法更能保留原訊號形態，去噪效果更好。
去噪演算法信噪比SNR與能量比例PER
