差速離心的物理原理怎麼分析?
非常高興能遇到一個“志同道合”的朋友跟我有相同的疑惑。恰好我最近查閱了一些資料，並對離心分離的力學原理進行了“深入”學習。
比如說，在此期間我收穫了一個十分重要的知識點：
物體在液體中所受的浮力並非總是豎直向上的。
在研究這個問題前，我們先建立一個
物理模型
：
離心管中充滿了密度為
的均勻液體介質，其內部分佈著若干完全一樣的
顆粒物質
或
膠體物質
（姑且統稱為“
微粒
”），其質量為
、體積為
，可視為
理想球體
；設離心管以
的角速度繞豎直轉軸（z軸）勻速轉動，顆粒物質與轉軸的距離為
。
備註1：以下均以離心管作為參考系。注意這是一個
非慣性系
，因此將引入
離心力
這種
慣性力
。
備註2：
顆粒物質
的尺寸一般大於
1μm
，其
布朗運動
與彼此間相互作用力（比如範德華力、靜電力、氫鍵等）忽略不計。
膠體物質
的尺寸一般介於1-1000nm，布朗運動與彼此間相互作用力一般需要考慮。
備註3：離心管在離心機中都是傾斜放置的（管底離轉軸較遠，管口離轉軸較近）。
不妨假設微粒在液體中處於“懸浮”狀態，即微粒在豎直方向上沒有位移，那麼它應該受力平衡，包括：
豎直向下
的重力
、
水平且遠離轉軸方向
的離心力
和浮力。
毫無疑問，為了滿足受力平衡的條件，
浮力必須在水平方向與豎直方向均有分量
。
如何理解物體在旋轉液體中所受的水平浮力？
先回顧一下物體在靜止液體中的豎直浮力是如何產生的：
這是因為液體在不同高度的壓強不同，從而對物體產生了壓力差，因此產生了豎直向上的浮力
。
那為什麼液體在不同高度的壓強不同？是因為重力！豎直向下的重力導致了越深的位置，液體壓強越大。
以此類推，若某個均勻場（場加速度為
）
，則靜止液體中的物體將受到與
方向相反的“浮”力，且大小為
。
題外話：
最近有兩道物理題很火，也都與等效浮力相關：
1.懸空的蚊子在加速的火車上如何保持相對靜止？
2.加速運動的小車中懸掛的氣球相對於小車將向哪邊傾斜？
在旋轉液體中，液體除了受到重力，還受到離心力。但
離心場與重力場有所不同
，它不是均勻分佈的，而是隨轉軸的距離線性增大的場。相似的道理，物體在液體中就會受到與離心力相反方向的浮力
。其中，
正是離心場賦予距轉軸
處液體的加速度。
然後還需要考慮：若干微粒在離心過程中會形成
濃度梯度
，使其發生向心方向的
擴散
。
而根據離心機的轉速（或者說離心力的大小）分為兩種情況。
一是
沉降平衡法
，要求轉速很慢（離心力很小），那麼
沉降
與擴散就容易達到平衡，即微粒經過一段時間後將“懸浮”在液體中，並不能全部運動至管底，因此無法達到良好的離心效果。
二是
沉降速率法
，要求轉速很快（離心力很大），那麼由濃度梯度形成的
擴散力
可以忽略不計。這時，微粒受到的力分別是：重力、離心力、
科里奧利力
、浮力與粘滯阻力。
備註1：顆粒物質的重力遠大於擴散力，因此即使不離心也能自然沉降至離心管底部形成
沉澱
。可見，離心理論中的沉降平衡法都是對於膠體物質而言。
備註2：擴散力的計算需要引入
滲透壓
（詳見《物理化學》教材）。
備註3：根據
斯托克斯公式
，粘滯阻力為
。
備註4：對於
變速圓周運動
，物體受到的慣性力除了離心力，還有
科里奧利力
，其大小為
，方向為
（向量叉乘）。但《物理化學》教材中並未考慮到科里奧利力，這可能是因為科里奧利力的引入將導致運算非常複雜以致於得不到解析解。
下面分析沉降速率法的動力學過程：
若只考慮水平方向，並忽略科里奧利力與擴散力，則根據
牛頓第二定律
：
其中，
顯然，這是一個
二階常係數線性齊次微分方程
，
其特徵方程為：
，
判別式為：
。
一般而言，微粒的密度大於液體介質的密度，因此
，從而該微分方程的通解為兩個指數函式的線性組合。
根據
韋達定理
：
因此特徵方程有一正根
和一負根
，
從而微分方程的通解為：
設初始條件為 ：
，以確定常數
和
，
得 ：
由於
由於微粒的
無規則運動
可正可負，
，
因此，
當
時，
最終都將是嚴格單增函式，且無上界。也就是說，微粒最終都將做加速度越來越大的離心運動。
當
時，
將恆小於0。也就是說，微粒將始終做向心運動。
這就與《物理化學》教材和題主給出圖片中所假設的勻速運動不一致。
實際上，經過我的查證，國內外
［1］
幾乎所有教材都是按照勻速運動來處理的。但也有1994年的一篇文獻
［2］
指出了這種處理的錯誤，並按照我所寫的方式進行了更嚴謹的推導。
不難發現，當
時，存在
先減後增
的情況，根據
羅爾中值定理
，必然存在：
某時刻
，某位置
處，某速度
，恰好使微粒所受的合力為
0
，即：
但注意，這並不意味著此後微粒將做勻速運動，而應做加速度越來越大的加速運動。
討論：
一方面，上述理論計算都未代入具體數值，並不知道微粒在運動過程的速度與加速度具體是多少。對於第一種情況，或許在某些引數下可以近似看作勻速運動。對於第二種情況，在實際中應該不可能存在。另一方面，該模型中對於顆粒物質在第一種情況下的離心現象還能解釋，但對於膠體物質有以下不足：
未考慮到膠體物質的真實形狀，這將對粘滯阻力的計算將帶來誤差。
對於膠體物質而言，其布朗運動與彼此間相互作用力一般不能忽略。
未考慮科里奧利力。
膠體在離心過程中，其內部結構是有可能發生變化的。比如，氫氧化鐵膠體等
溶膠
在離心時，眾多
膠粒
將克服彼此間的靜電排斥力而聚集為更大的顆粒（膠體物質轉變為顆粒物質），最終形成沉澱。（備註：“
溶膠的聚沉
”仍然可以參考《物理化學》教材。）
最後，本文只代表作者的個人觀點，不具有學術權威性，僅供參考！
好訊息！我代入了具體的引數發現，第二種情況不可能存在！而第一種情況的加速度很小，幾乎可以看作勻速運動，這點在1994年的文獻中也指出了。
所有物理量的單位均為國際單位：
syms
t
；
r
=
10
^
-
8
；
V
=（
4
*
pi
*
r
^
3
）
/
3
；
rho
=
3000
；
rhol
=
1000
；
m
=
rho
*
V
；
omega
=
10000
*
2
*
pi
/
60
；
eta
=
10
^
-
3
；
x0
=
0。05
；
v0
=
4
*
10
^
-
4
lambda1
=（
-
6
*
pi
*
eta
*
r
+
sqrt
（（
6
*
pi
*
eta
*
r
）
^
2
+
4
*
m
*
omega
^
2
*
（
m
-
rhol
*
V
）））
/
（
2
*
m
）；
lambda2
=（
-
6
*
pi
*
eta
*
r
-
sqrt
（（
6
*
pi
*
eta
*
r
）
^
2
+
4
*
m
*
omega
^
2
*
（
m
-
rhol
*
V
）））
/
（
2
*
m
）；
x
=（（
v0
-
x0
*
lambda2
）
*
exp
（
lambda1
*
t
）
-
（
v0
-
x0
*
lambda1
）
*
exp
（
lambda2
*
t
））
/
（
lambda1
-
lambda2
）；
v
=（（
v0
-
x0
*
lambda2
）
*
lambda1
*
exp
（
lambda1
*
t
）
-
（
v0
-
x0
*
lambda1
）
*
lambda2
*
exp
（
lambda2
*
t
））
/
（
lambda1
-
lambda2
）；
vpa
（［
lambda1
；
lambda2
；
x0
*
lambda2
；
x
；
v
］，
3
）
運算結果為：
4。94e-5
-1。5e10
-7。5e8
0。05*exp（4。94e-5*t） - 2。65e-14*exp（-1。5e10*t）
2。47e-6*exp（4。94e-5*t） + 3。98e-4*exp（-1。5e10*t）
可見，
（結果的第三排）接近光速，第二種情況不可能存在，這符合預期。
（結果的第一排）接近於0，以致於微粒的運動在一段時間後可以趨近於勻速運動。
