"每一個ZFC的模型其中都有一個ZFC的模型"
有一個很有趣但是也很令人困惑的事實： 如果（M，E）是一個ZFC的模型， 那麼M中就存在一個物件u和一個u上的二元關係r， 使得
。 特別地， u和r滿足如下條件： 並且如果
，
， 那麼（y，e）是一個ZFC的模型。
這個事實令人困惑是因為這個事實很容易被說成“每一個ZFC的模型其中都有一個ZFC的模型”。 這聽上去就與哥德爾第二不完備定理矛盾了。 因為根據哥德爾第二不完備定理， 如果ZFC存在模型， 那麼就肯定存在某個模型M， 使得M滿足“ZFC不存在模型”。 （這個就是
Con（ZFC）->Con（ZFC+~Con（ZFC））翻譯到模型上的說法）。
而這裡微妙的地方就是“模型裡看”vs“模型外看”的區別。 這個（y，e）在模型外的我們看來是ZFC的模型， 而在M的角度來看未必是ZFC的模型。
首先是比較trivial的事實， 如果（M，E）是一個
-standard的模型， 即M認為的自然數集就是實際上的自然數集， 那麼考慮到（M，E）是ZFC的模型， 所以ZFC是一致的， 而ZFC一致與否是一個自然數上的事實， 所以M也會認為ZFC是一致的。 那麼所以M中自然會有一個ZFC的模型。
同樣道理， （M，E）滿足ZFC+Con（ZFC）的情況也是trivial的。
所以nontrivial的情況是（M，E）滿足ZFC+~Con（ZFC）的情況。
而這個情況的證明也不難， 用到的是反射原則和一些關於非標準自然數的簡單事實。
我們先在現實生活中固定一個ZFC公理的列舉
， 這個列舉可以是比如說根據ASCII碼的大小來排序。 我們知道， 透過編碼， 我們可以在ZFC的語言中寫出一句帶有一個自由變元的語句
， 使得對於任意自然數n （也就是任意一個形如s。。。。s0的算術物件） ， 如果
， 那麼n是某條ZFC公理的ASCII碼。
我們先檢查反射原則說的是什麼。 反射原則是一個theorem schema， 它是告訴你， 對於任何滿足條件的公理集， ZFC都能證明關於這個公理集的某些性質。
準確地說，
給定任意自然數n
， 令
為上面對ZFC公理列舉的前n條的conjunction。 那麼我就可以從ZFC公理出發， 給出一個 “
”的證明。
我們可以先考慮 “
”是一句嚴格來說是一個什麼樣的語句。 這是一個在集合論語言
裡面的一階邏輯語句
， 也就是說， 這是一個用上了一個引數
的語句， 其中
是一個自然數。
這個證明將會用到的trick就是， 上文的“
給定任意自然數n
”這裡的n是一個形如s。。。s0的， 理論上來說可以寫在紙上的自然數， 更準確地來說就是標準自然數。
證明：
考慮
。 我們背景上是一直假設ZFC一致的， 因為如果ZFC實際上不一致， 那麼形如“每一個ZFC的模型其中都有一個ZFC的模型”這樣的命題就是vacuously true。 在這個背景假設下， 我們看到M中的自然數一定存在非標準元素。 這是因為M中有一個自然數k， 使得k是一個證明的編碼， 這個證明的開頭是ZFC的公理， 結尾是0=1。 而根據我們背景假設， 這樣一個證明實際上不存在， 也就是說編碼這樣一個證明的k是非標準自然數。
我們考慮M中的上述ZFC公理列舉，
。 因為M認為ZFC不一致， 所以M肯定會認為有一個最小的N， 使得
不存在模型。 而因為反射原則是ZFC的定理， 所以在每一個模型中都成立， 那麼對於每一個標準自然數j， M都會認為
存在模型。 這就告訴了我們N是非標準自然數。
此時我們考慮
。 不難驗證， 如果N是非標準的， 那麼N-1也是非標準的。 而由於M認為N是最小的使得
不存在模型的數字， 那麼M認為
存在模型。 此時令（u，r）為M認為的 “
”的模型。 而由於N-1是非標準自然數， 它會大於所有標準自然數。 這就說明了M會認為（u，r）滿足我們文章開頭的列舉
中的每一項。 那麼此時令
，
， （y，e）就會是一個（在我們看來）ZFC的模型。 而M並不認為（u，r）是ZFC的模型， 因為M可以找到M中ZFC的公理列舉
的某一條
， 使得（u，r）不滿足
。 證明完畢
事實來源：
https：//
mathoverflow。net/questi
ons/51754/clearing-misconceptions-defining-is-a-model-of-zfc-in-zfc/51786#51786