我找到了拋物線的第四種定義！

故事要從一道期中考（本人目前高二）的立體幾何題談起：

其餘條件如圖所示，P在正方形ABDC內部，存在一條直線使得該直線與EF， HP， BG， AC均相交，請問P的軌跡是什麼？

A。一條線段 B。一段圓弧

高中生們不妨思考一下，再往下看。

以下是老師給出的解法（我當時沒做出來，但是蒙了個A）：

AC上任取點N，連結BN，在FH上取點I，使得GI // BN，延長GI，EF交於J

連結HJ，作NK // HJ 交AB於K，則在NK上任取一點P，NJ均能夠與上述四條直線相交

總之，就是透過作平行線，使兩條線處於同一個平面上，這樣只要它們不平行，就會相交。

至此，參考解答認為：P的軌跡是一條直線。人們不禁要問：N不是可以隨便移動嗎？

我們回過頭閱讀題目，“存在‘一條’直線”“使得‘該’直線”，似乎說明了上述NJ是一條固定的直線，那麼，P的軌跡確實就是一條線段了。

但是我會滿足這個答案嗎？當N運動起來，P的軌跡就是一個未知曲線與AB，AC構成的面。

設AN為t，運用作出的平行線可以推匯出AK恰好是（1 - t） ！（此處設正方體邊長為1）

把它放在平面內，我們就會看到：

哦，不好意思畫反了，不過不影響理解

由於百思不得其解，我發了一篇文章求問：Gone：“凸圓”難題

並且在未得到答覆的情況下自己算出來了曲線的方程。

“猜”真的很重要。既然它不能是圓，又具有如此強的對稱性，不妨猜它是個拋物線。

我們把正方形逆時針旋轉

：

選擇特殊點用拋物線方程進行擬合：

接下來驗證它的正確性：

在拋物線上任取一點，計算切線方程，與正方形兩邊分別聯立，得到兩個橫座標

計算

恰好為1就證明了它的正確性。此處略去計算過程，以圖為證：

本來研究應該到此為止了，但是好奇的我不禁想求出“正方形正放”時該拋物線的方程。

當然，一通極座標變換是可行的，做出來的結果就是：

這個式子很不優雅，但是經過網友 @block boy 的指點：

這個方程竟然可以如此優雅！！！

那我就不得不拿出我還不成熟的線代知識了：

知乎能輸矩陣嗎？正常LaTeX能也太麻煩了，大家湊合著看吧

OHHHHHHH！

至此，我們可以提出拋物線第四定義：

能夠包絡所有 “x軸y軸截距之和為定值的直線” 的曲線！

當然，經過計算，不一定要在直角座標系內，在傾斜座標系內仍然成立！

標題誇張了點真的就被批評了哈哈哈……博君一笑爾，何必較真呢？

草，這種“定義”方式還真的跟射影幾何中的定義有共同之處，這是我沒想到的……畢竟正經高中生誰學射影幾何啊（劃掉）。

11/27補充：

1。求包絡線方程直接用偏導的通法就可以了。

2。由阿基米德三角形的性質（切線變動時恆有四點共圓）在原圖中作出焦點，從而說明是拋物線。