含有兩個量詞的命題如何否定？

運飛美少女2022-12-14 10:55:49

量詞命題在高中學習常用邏輯用語時接觸過，全稱量詞命題形如

P（x）的值依賴於x，相當於P是x的函式，P叫做命題函式，值域是｛真，假｝。對於單量詞命題，它的否定是很容易寫出來的，即

全稱量詞變存在量詞，然後再取反，這個大多數學生都知道，也很容易想明白。可以舉例：“所有三角形都是等邊三角形”這個命題的否定就是“存在一個三角形不是等邊三角形”。可是如果量詞不止一個，命題的否定就不那麼直觀了。例如：

在這個命題中，P是三元的命題函式，它的真或者假依賴於x，y，z，那這時候命題的否定該怎麼寫呢？多量詞命題在大學學數學分析的時候經常出現， 用ε-N語言來描述極限的時候，經常要證明對任意ε>0，存在N，使得當n>N時，

這個時候就稱數列a_n的極限是a。ε-N語言為什麼就能描述極限呢？極限涉及到無窮的概念，人類認識無窮的概念並不是一帆風順的，著名的芝諾追烏龜悖論說的是：一個人去追在它前方的烏龜，這個人每次到達烏龜先前所在的地方，烏龜都會往前走一段路，最後無論烏龜速度多慢，這個人永遠追不上烏龜。要解釋這個悖論就得認識無窮。我覺得這對人類來說是一個坎兒。人類的大腦只能進行有限次的操作，那怎麼解決無限？當我把ε-N語言描述的命題拆開，我發現裡面包含著無限。

要更深入理解量詞命題，需要加一個論域的概念，類似於函式中的定義域。任意x。P（x），這個命題假如說x可取的範圍是實數域，即論域是實數域，這時候我可以把命題轉換一種寫法：

其中

到

是論域中的所有元素，也就是x可以取到的所有值。

是與運算，論域中所有的元素都使P為真，命題才為真，這符合全稱量詞命題的含義。

無窮出現了，現在命題的否定

很明顯這是德摩根定律：

在這裡，與運算變成或運算了，這就是為什麼全稱量詞命題的否定成了存在量詞命題。前面說了人的大腦只能進行有限次的操作，但是上面這個等式用到了非人類的邏輯（古人驚掉下巴），於是才描述了古人描述不了的無限。

現在來思考多量詞命題如何否定，我感到它和多重積分很像。想一想多重積分我們怎麼操作的：

看看

的否定怎麼寫，仿照計算多重積分的操作，把它拆開：

我們把

看成是關於x 的命題函式，即

這樣

而

所以

這裡要注意

它們的順序改變了就不是原來的命題了，這與多重積分不同，

例如命題1：對任意ε>0，存在N，使得當n>N時，

；命題2：存在N，對任意ε>0，使得當n>N時，

可以看出這兩個命題不等價，對於命題2，如果一個數列有極限，我肯定找不到這個N。