[Toën 2014] 2.2 匯出概形

作者：由 Elaina 發表于曲藝時間：2022-11-05

翻譯自B。 Toën， Derived Algebraic Geometry， arXiv： 1401。1044

水平低，私貨多，隨緣譯，可能隨時棄坑。

$\quad$

接下來我們回到在2。1中討論的匯出概形的初次定義上來，但是這次我們可以用∞-範疇的視角來端詳它們。我們從一個範疇

$\textsf{sComm}$

開始，這是單純交換環構成的∞-範疇，其也被稱為匯出環，定義為：

$\textsf{sComm}:=\mathrm L\textsf{sCRing}\\$

即單純交換環範疇

$\textsf{sCRing}$

［1］

的∞-區域性化範疇，且與弱同倫等價相容。這裡的弱同倫等價指的是單純交換環之間的態射

$A\rightarrow B$

誘導的相應的單純集態射之間的弱同倫等價。任一匯出環

都給出一個交換分次環：

$\pi_*(A)=\bigoplus_{i\geqslant 0}\pi_i(A)\\$

這些同倫群都以

為基點；這樣的構造

$A\mapsto \pi_*(A)$

定義了一個從

$\textsf{sComm}$

到交換分次環的∞-函子。

$\quad$

對於一個拓撲空間

，存在一個

上的∞-疊範疇

$\textsf{sComm}(X)$

，其的係數取於∞-匯出環範疇中。設

的開子集構成的範疇為

$\textsf{OpSet}(X)$

［2］

，

$\textsf{sComm}$

可以被解釋為

$\mathrm{Fun}^\infty(\textsf{OpSet}(X)^\mathrm{op},\textsf{sComm})$

的滿子範疇，即∞-函子滿足相應的下降條件（見

$\S2.1.2$

）。對於一個交換態射

$u:X\rightarrow Y$

，有∞-範疇之間的伴隨：

$u^{-1}:\textsf{sComm}(Y)\rightleftarrows\textsf{sComm}(X):u_*\\$

$\quad$

我們從定義匯出賦環空間構成的∞-範疇

$\textsf{dRgSp}$

開始，物件應該是二元組

$(X,\mathcal O_X)$

，其中

是一個拓撲空間，

$\mathcal O_X\in\textsf{sComm}(X)$

是其上的匯出環疊；對於兩個匯出賦環空間

$(X,\mathcal O_X),(Y,\mathcal O_Y)$

，定義：

$\mathrm{Map}((X,\mathcal O_X),(Y,\mathcal O_Y)):=\coprod_{u:X\rightarrow Y}\mathrm{Map}_{\textsf{sComm}(Y)}(\mathcal O_Y,u_*\mathcal O_X)\\$

這樣我們就定義了一個∞-範疇

$\textsf{dRgSp}$

，其的物件是匯出賦環空間，態射是上文定義的態射的單純集。從技術上講，這需要使用一些高等概念

［3］

，例如∞-纖維範疇，但也可以用單純交換環層的某些具體的模型範疇來解釋（這是我們的警告2。4在實際情況下的典型例子

［4］

）。

$\quad$

任一匯出賦環空間

$(X,\mathcal O_X)$

總存在截稜

$(X,\pi_0(\mathcal O_X))$

，這是一個（非匯出的）賦環空間，

$\pi_0(\mathcal O_X)$

是一個層。定義範疇

$\textsf{dRgSp}^\mathrm{loc}$

是

$\textsf{dRgSp}$

中的

$(X,\mathcal O_X)$

使得截稜

$(X,\pi_0(\mathcal O_X))$

是區域性賦環空間，並且態射誘導賦環空間之間的區域性態射者構成的（非滿）∞-子範疇。∞-含入函子

$\textsf{dRgSp}^\mathrm{loc}\hookrightarrow\textsf{dRgSp}$

是非本質滿但是在態射誘導態射空間上的並的含入時，其是本質的。

$\quad$

我們用∞-範疇的語言來重新描述匯出概形的定義。

定義 2.5

匯出概形構成的∞-範疇定義為

$\textsf{dRgSp}^\mathrm{loc}$

的∞-滿子範疇中任取其中物件

$(X,\mathcal O_X)$

都滿足以下者：

（1）截稜

$(X,\pi_0(\mathcal O_X))$

是一個概形；

（2）任取指標

，

$\pi_0(\mathcal O_X)~\textsf-$

模層

$\pi_i(X)$

都是擬凝聚的；

匯出概形構成的∞-範疇記作

$\textsf{dSch}$

［5］

。

$\quad$

一個環可以被視作一個常單純環，如此便有一個嵌入

$i:\textsf{CRing}\hookrightarrow\textsf{sComm}$

［6］

。∞-函子

$\pi_0$

給出這個嵌入的一個左伴隨，這種伴隨拓展到匯出賦環空間、匯出區域性賦環空間與匯出概形也成立，即：

$t_0:\textsf{dSch}\rightleftarrows\textsf{Sch}:i\\$

函子

是一個本質滿函子，此時概形作為一個匯出概形位於∞-滿子範疇中。∞-函子

將匯出概形

$(X,\mathcal O_X)$

映至概形

$(X,\pi_0(\mathcal O_X))$

，我們通常會省略提及∞-函子

的過程並簡單地將

$\textsf{Sch}$

視作

$\textsf{dSch}$

的滿子範疇。根據這種伴隨關係，任取一個匯出概形

，總存在一個匯出概形之間的自然態射：

$j:t_0(X)\rightarrow X\\$

備註 2.3

關於態射

$j:t_0(X)\rightarrow X$

有一個明顯而精確的描述：概形

的約化群

$Y_\mathrm{red}$

的嵌入

$Y_\mathrm{red}\hookrightarrow Y$

。在這種說法下，截稜

也被視為匯出概形

中的一部分，

相應就是

的某些極小的增稠，這些極小的增稠都出現在高階同倫項中。

$\quad$

截稜

可以拓展為截斷函子

$t_{\leqslant n}$

，其中指標

$n\geqslant 0$

（規定

$t_0=t_{\leqslant 0}$

）

［7］

。設

是匯出概形，

$\mathcal O_X$

的疊存在所謂的Postnikov塔，即以下的列：

$\mathcal O_X\rightarrow\cdots t_{\leqslant n}(\mathcal O_X)\rightarrow t_{\leqslant n-1}(\mathcal O_X)\rightarrow\cdots \underbrace{\pi_0(\mathcal O_X)}_{:=t_0(\mathcal O_X)}\\$

解釋一下，所謂的

上的匯出環上的∞-疊範疇中的態射塔指的是滿足如下條件的列：

（1）任取指標

，都有

$\pi_i(t_{\leqslant n}(\mathcal O_X))\simeq 0$

；

（2）任取指標

$i\leqslant n$

，態射

$\mathcal O_X\rightarrow t_{\leqslant n}(\mathcal O_X)$

都誘導

$\pi_i(\mathcal O_X)\simeq \pi_i(t_{\leqslant n}(\mathcal O_X))$

。

$\quad$

任取匯出賦環空間

$(X,t_{\leqslant 0}(\mathcal O_X))$

，其都定義一個匯出概形，記作

$t_{\leqslant n}(X)$

，由以下塔定義其的圖表：

$t_0(X)\rightarrow t_{\leqslant 1}(X)\rightarrow\cdots\rightarrow t_{\leqslant n}(X)\rightarrow t_{\leqslant n+1}(X)\rightarrow \cdots\rightarrow X\\$

從這個圖表可以看出

$t_{\leqslant n}(X)\in\textsf{dSch}$

有內射極限。Postnikov塔是我們理解兩個匯出概形之間的態射的重要工具，也是某種意義上態射空間的一種更廣義類比。對於兩個匯出概形

，我們有：

$\mathrm{Map}_\textsf{dSch}(X,Y)\simeq \varinjlim_{n\geqslant 0}\mathrm{Map}_\textsf{dSch}(t_{\leqslant n}(X),t_{\leqslant n}Y)\simeq\varinjlim_{n\geqslant 0}\mathrm{Map}_\textsf{dSch}(t_{\leqslant n}(X),Y)\\$

它將態射空間表示為更簡單的態射空間的（同倫）內射極限。對於給定的

，

$\mathrm{Map}_\textsf{dSch}(t_{\leqslant n}(X),t_{\leqslant n}(Y))$

自然是n-稜截（其的非平凡同倫幾種在度極小或等於

的情況）。更多的，以下投影態射：

$\mathrm{Map}_\textsf{dSch}(t_{\leqslant n+1}(X),t_{\leqslant n+1}(Y))\rightarrow\mathrm{Map}_\textsf{dSch}(t_{\leqslant n}(X),t_{\leqslant n} (Y))\\$

將會在障礙理論中被我們更多地理解與利用（可見我們的

$\S4.1$

）：這個投影態射的纖維的描述本質上可以幫助我們理解一些特殊的擴張群層理論。

$\quad$

上面的Postnikov塔非常類似於形式概形的情況：任何形式概形

都是概形

的內射極限帶上一族對應於後者

$X_{n+1}$

上的冪零理想層的閉浸入

$X_n\hookrightarrow X_{n+1}$

；這個想法與形式概形的類比是十分精確的。

$\quad$

為了結束本節，我們來考察一些匯出概形與匯出概形之間的態射空間的基本示例，而更高階的

［8］

一些例子將在我們下一段以及後續的討論中給出。

仿射匯出概形

：記

$\textsf{dAff}$

是

$\textsf{dSch}$

中截稜

$\pi_0(X)$

為仿射概形者構成的∞-滿子範疇，其中的物件稱為仿射匯出概形。根據相應討論，存在一個全域性的函子：

$\begin{align*}\mathbb H(-,\mathcal O_X):\textsf{dAff}^\mathrm{op}&\rightarrow\textsf{Comm}\\ X&\mapsto\mathbb H(-,\mathcal O_X):=p_*(\mathcal O_X)\end{align*}\\$

其中

$p:X\rightarrow*$

是典範投影態射，

是∞-匯出環疊上的∞-誘導函子。這個∞-函子

$\mathbb H$

是一個∞-範疇等價，並且其的逆一般記作

$\textsf{Spec}$

，可如下描述

［9］

。設

是單純交換環，考慮（非匯出）仿射概形

$S=\mathrm{Spec}(A_0)$

，即一個在

中的0維單純環譜

［10］

。單純環

以一種自然的方式被認為是一個單純交換

$A_0~\textsf-$

代數（透過一個自然嵌入

$A_0\rightarrow A$

），這樣就定義了

上的單純擬凝聚

$\mathcal O_S~\textsf-$

模層

$\mathcal A$

。這個層定義了

上的匯出環疊，它們是我們的

$\textsf{sComm}(S)$

中的物件。記

$X\subset S$

是透過

$\mathrm{Spec}(\pi_0(A))$

定義的閉子集（我們認為環

$\pi_0(A)$

是

的商），在如此構造後匯出環疊

$\mathcal A$

就支撐於閉子空間

上，這是在其在

上的限制為零這個情況才能得到的。這就意味著，這些討論等價於對於任一

$\mathcal O_X\in\textsf{sComm}$

，取形如

$i_*(\mathcal O_X)$

的匯出環疊（

是從

上的匯出環疊到

上的匯出環疊之間的等價）。如此，匯出賦環空間

$(X,\mathcal O_X)$

就可以記作

$\textsf{Spec}(A)$

，並且其是一個仿射匯出概形，兩個函子

$\mathbb H,\textsf{Spec}$

互逆。

纖維積

：匯出概形構成的∞-範疇

$\textsf{dSch}$

有所有有限內射極限（可見

［11］

中的

$\S1.3.3$

），終物件

$*=\mathrm{Spec}(\mathbb Z)$

十分顯然。在仿射匯出概形的層次上，其的纖維積構造如下。以下的仿射匯出概形圖表：

$X\rightarrow S\leftarrow Y\\$

透過對全域性函式討論，對應於一個匯出環圖表：

$A\leftarrow C\rightarrow B\\$

考慮一個匯出環

$D:=A\overset{\mathrm L}{\underset C\otimes } B\in\textsf{sComm}$

［12］

，在∞-範疇的語言下，匯出環

是上述圖表的推出；可以透過將

替換為單純

$C~\textsf-$

代數

來顯式構造其，其中

是一個胞腔

$C~\textsf-$

代數（可見

［13］

中的

$\S2.1$

中對於胞腔物件的一般概念），我們還可以考慮相應的張量積

$A\underset C\otimes B$

。例如，當

都是交換環時，

是一個單純交換環滿足

$\pi_n(D)\simeq\mathrm{Tor}^C_n(A,B)$

。對於一般情況，匯出範疇圖表

$X\rightarrow S\leftarrow Y$

對應的纖維積

$X\underset S\times Y$

可以用粘合對應的區域性仿射資訊來得到。另外，當

只是（非匯出）概形時，

$Z:=X\underset S\times Y$

是一個截稜都是一般概形的纖維積的匯出概形，此時匯出結構層

$\mathcal O_Z$

的同倫對應高階的Tor函子：

$\pi_n(\mathcal O_Z)\simeq\mathrm{Tor}_n^{\mathcal O_S}(\mathcal O_X,\mathcal O_Y)\\$

我們在這裡看到了與我們的

$\S1$

中出現的Serre相交公式的聯絡。

$\quad$

在一般情況下，含入函子

$i:\textsf{Sch}\hookrightarrow\textsf{dSch}$

是不保纖維積的，除了其依賴於Tor函子時（例如其中的一個態射是平坦的）。與此相反，截稜函子

將匯出概形之間的纖維積映至一般概形之間的纖維積，這是許多有趣的匯出概形的例項的來源，因為這預示著我們只需要構造出概形的纖維積便可；一個標準的例子是概形之間的非平坦態射的纖維積。

自相交

：設

$Y\subset X$

是概形的閉浸入，匯出概形

$Z:=Y\underset X\times Y\in\textsf{dSch}$

。截稜函子

與某些

$\textsf{Sch}$

中的纖維積同構，並且與

也同構，此時自然態射

$t_0(Z)\simeq Y\rightarrow Z$

由對角態射

$Y\rightarrow Y\underset X\times Y$

誘導。對上文中的一個函子的投影態射誘導匯出概形之間的態射

$Z\rightarrow Y$

，它是

$Y\rightarrow Z$

的回縮

［14］

。一個例子便是關乎於所謂的分裂匯出概形

：自然態射

$t_0(Z)\rightarrow Z$

容許一個回縮（這不是一般情況都成立的）。為了簡便起見，我們可以考慮

中的區域性整交集

與其的理想層

$\mathcal I\subset \mathcal O_X$

。在

中

的餘法叢就是

$\mathcal N^\vee\simeq \mathcal I/\mathcal I^2$

，這是

上的一個向量叢。

$\quad$

當

$X=\textsf{Spec}A$

是仿射的，

$Y=\textsf{Spec}A/I$

時，匯出概形

可以被我們以明確的方式理解。設

中正規列生成的多項式

$f_1,\cdots,f_r$

，考慮一個匯出環

，其容許在

中新增一個1-單形

使得

［15］

：

$d_0(h_i)=0,\quad d_1(h_i)=f_i\\$

可見

［16］

中對命題4。9的證明。匯出環

有一個自然的擴充套件

$K(A,f)\rightarrow A/I$

，這是一個等價（因為列是正規的）；不僅如此，其還是一個胞腔

$A~\textsf-$

代數。根據構造，匯出環

$A/I\overset{\mathrm L}{\underset A\otimes}A/I$

可以被另一個匯出環我們記作

$B:=K(A,f)\underset A\otimes A/I$

識別；也就是說，前者是一個

$A/I~\textsf-$

代數使得

$\pi_1(B)\simeq I/I^2$

。把

視作一個投射

$A/I~\textsf-$

模就可以用單純

$A/I~\textsf-$

模之間的態射

$I/I^2[1]\rightarrow B$

來表示上述同構了，其中

是單純模範疇之間的緯懸

［17］

。這樣我們就得到了一個態射

$\mathrm{Sym}_{A/I}(I/I^2[1])\rightarrow B$

，其中

$\mathrm{Sym}_{A/I}$

表示一個∞-函子，其的作用是將

$A/I~\textsf-$

模

映至其生成的匯出

$A/I~\textsf-$

代數。在特徵0的情況下，這個態射是個等價，然後我們在這個前提下可以得到：

$Z\simeq\textsf{Spec}(\mathrm{Sym}_{A/I}(I/I^2[1]))\\$

在非特徵0的情況下，我們只能得到一個更弱的結論：

$Z\simeq\textsf{Spec} B\\$

不僅如此，右側的部分也不是自由匯出環了，但是我們可以驗證其滿足以下：

$\pi_*(B)\simeq\bigoplus_{i\geqslant 0}\wedge^i(I/I^2)[i]\\$

$\quad$

針對區域性上的計算工作，我們只需要檢查

$\pi_*(\mathcal O_Z)$

的分次

$\mathcal O_Y~\textsf-$

代數層是否與

$\mathrm{Sym}_{\mathcal O_Y}(\mathcal N^\vee[1])$

同構。然而，在一般情況下匯出環層

$\mathcal O_Z$

不等價於

$\mathrm{Sym}_{\mathcal O_Y}(\mathcal N^\vee[1])$

（即在非仿射情況下）。這些在特徵0時區域性上也一樣，但是在全域性層次上，它們是上同調障礙的。第一個障礙是

$\alpha_Y\in\mathrm{Ext}^2_Y(\mathcal N^\vee,\wedge^2\mathcal N^\vee)$

中的上同調類，這可以按如下理解。我們有匯出環疊的自然拓展

$\mathcal O_Z\rightarrow\mathcal O_Y$

，觀察其在

$\mathrm{QCoh}(Y)$

［18］

中的分裂，可以得到其的分裂

$\mathcal O_Z\simeq\mathcal O_Y\times K$

。復形

在度

$[-\infty,1]$

上上同調集中，如此便有正合三角

［19］

：

$\mathrm H^{-2}(K)[2]\rightarrow t_{\geqslant -2}(K)\rightarrow\mathrm H^{-1}(K)[1]\xrightarrow\partial \mathrm H^{-2}(K)[2]\\$

類

$\alpha_Y$

可以用邊緣態射

$\partial$

［20］

表示。

$\quad$

障礙類

$\alpha_Y$

可以用餘法叢

$\mathcal N^\vee$

擴充套件到

中

的第二類鄰域內的障礙來解釋，高階障礙類都在我們上面說的那個

$\mathrm{Ext}^i_Y(\mathcal N^\vee,\wedge^i\mathcal N^\vee)$

中，並且可以看見如果第一類障礙

$\alpha$

也如此其便消失。在這部分我們參考了

［21］

以及

［22］

和

［23］

。

備註 2.4

另一個最重要的匯出自相交是所謂的匯出環路概形

$X\underset{X\times X}\times X$

，我們將在我們的

$\S4.4$

中仔細介紹；它以一種特別的方式用含入

$X\rightarrow X\times X$

控制全域性的回縮。

向量叢的Euler類

：設

是一個概形，

是其上的向量叢（區域性自由

$\mathcal O_X~\textsf-$

模層及截面

$s\in\Gamma(X,V)$

）。我們記

$\mathbb V=\textsf{Spec}(\mathrm{Sym}_{\mathcal O_X}(V^\vee))$

為

的全空間，即

上的概形。截面

與零截面分別定義態射為：

$X\xrightarrow s\mathbb V \xleftarrow 0 X\\$

從中可以看出匯出纖維積

$X\underset{\mathbb V}\times X$

；如此就有一個匯出概形記作

$\mathrm{Eu}(V,s)$

稱為

關於

的Euler類。那麼相應的截稜

$t_0(\mathrm{Eu}(V,s))$

就是與

的零組成的

$Z(s)\subset X$

構成的閉子概形。另外，匯出結構層

$\mathcal O_{\mathrm{Eu}(V,s)}$

控制與零截面相關的截面

的Tor-依賴性的那些缺陷。

$\quad$

在區域性上，

$\mathrm{Eu}(V,s)$

的結構可以理解為以下的Koszul代數。設

$X=\textsf{Spec} A$

與由有限投射

$A~\textsf-$

模

給定的向量叢

，截面

由

$A~\textsf-$

模之間的態射

$s:M^\vee\rightarrow A$

給出。考慮

為以

$M^\vee$

中自由新增的1-單形使得任取

$m\in M^\vee$

有界且滿足

者給出的匯出環。這個匯出環是在dg情況下，Koszul解消的單純形版本，並且

$\mathrm{Eu}(V,s)$

等價於

$\textsf{Spec}K(A,M,s)$

。在特徵0的情況下，匯出環可以用交換dg代數模型化（可見我們的

$\S3.4$

），

這樣就是與標準Koszul代數

$\mathrm{Sym}_A(M^\vee[1])$

等價的了，此時導子由截面

給出。

標簽：匯出概形態射函子範疇

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