數分高代每日一題 20211128

作者：由一夜秋風起發表于詩詞時間：2021-11-28

數分

例1

（

浙江大學2018~2019學年秋冬學期《數學分析Ⅰ》期中考試

）設函式

在

上無界。證明：存在實數

$\xi\in[a,b]$

及數列

$\{x_n\}\subset[a,b]$

，使得

$\lim_{n\to+\infty} x_n=\xi$

，

$\lim_{n\to+\infty} f(x_n)=\infty$

。

證明

記

$a_1=a,\ b_1=b,\ c_1=\frac{a_1+b_1}{2}$

。因為

在

上無界，所以存在

$x_1\in [a_1,b_1]$

使得

，且必然存在一個半區間

或

，使得

在這個半區間上無界。記這個半區間為

。

同理，

也會在

的某一個半區間上無界，記這個半區間為

。並取

$x_2\in[a_2,b_2]$

使得

，

$x_3\in[a_3,b_3]$

使得

。重複此過程，我們得到了一個閉區間列

$\{[a_n,b_n]\}_{n=1}^{+\infty}$

，滿足

$[a_{n+1},b_{n+1}]\subset[a_n,b_n]$

，且

$b_n-a_n=\frac{b_1-a_1}{2^{n-1}}\to 0\ (n\to+\infty)$

，同時得到了數列

$\{x_n\}$

，使得

$|f(x_n)|>n\ (\forall n\in \mathbb Z_+)$

。

由閉區間套定理知，存在實數

$\xi \in [a,b]$

，使得

$\{\xi\}=\bigcap_{n=1}^{\infty} [a_n,b_n]$

。又因為

$a_n\leq x_n\leq b_n$

，由夾逼準則便知

$\lim_{n\to+\infty }x_n=\xi$

。

而對任意的

，取

，當

$n\geq N$

時便有

。這就說明

$\lim_{n\to+\infty} f(x_n)=\infty$

。

高代

設

階方陣

滿足

$A=\begin{pmatrix} 0&0&0&\dots&0&a_0\\ -1&0&0&\dots&0&a_1\\ 0&-1&0&\dots&0&a_2\\ \vdots&\vdots&\vdots&&\vdots&\vdots\\ 0&0&0&\cdots&-1&a_{n-1} \end{pmatrix}\\$

計算

$\det(A+tI)$

，其中

為

階單位陣。

解

記

$B=A+tI=\begin{pmatrix} t&0&0&\dots&0&a_0\\ -1&t&0&\dots&0&a_1\\ 0&-1&t&\dots&0&a_2\\ \vdots&\vdots&\vdots&&\vdots&\vdots\\ 0&0&0&\cdots&-1&a_{n-1}+t \end{pmatrix}$

。

對

不斷沿著第一行做 Laplace 展開，便得

$\begin{align} \det (B)&=t\det\begin{pmatrix} t&0&0&\dots&0&a_1\\ -1&t&0&\dots&0&a_2\\ 0&-1&t&\dots&0&a_3\\ \vdots&\vdots&\vdots&&\vdots&\vdots\\ 0&0&0&\cdots&-1&a_{n-1}+t \end{pmatrix}+(-1)^{n+1}a_0\det\begin{pmatrix}-1&t\\&-1&t\\&&\ddots&\ddots\\&&&-1\end{pmatrix}\\ &=t\left[t\det\begin{pmatrix} t&0&0&\dots&0&a_2\\ -1&t&0&\dots&0&a_3\\ 0&-1&t&\dots&0&a_4\\ \vdots&\vdots&\vdots&&\vdots&\vdots\\ 0&0&0&\cdots&-1&a_{n-1}+t \end{pmatrix}+a_1\right]+a_0\\ &\ \ \dots\\ &=t^n+\sum\limits_{i=0}^{n-1}a_it^{i} \end{align}$