唯一分解整環?

劉醉白2022-11-02 05:01:46

更新，目前結論不嚴謹，所以修改一下。

先說結論，在不是歐式整環的唯一分解整環中：當此唯一分解整環是主理想整環時，在

互素時，總找得到環中的

使得

成立。不是主理想整環時，上述結論不一定成立。

首先唯一分解整環中任意的

存在最大公因子

，

如果找得到環中的

使得

成立，

那麼根據

可以得到

，

即

是單位（環中的乘法可逆元），此時

互素，所以下面只討論

互素的情況。

帶有輾轉相除法的是有歐式運算（帶餘除法）的環，這樣的環一般是歐式整環（

）。不是歐式整環的唯一分解整環（

）可以分為兩種：不是歐式整環的主理想整環（

）（下圖第二圈），和不是主理想整環的唯一分解整環（下圖第三圈）。

⑴主理想整環是唯一分解整環，所以對於主理想整環的任意

，①

存在最大公因子

，且在主理想整環中也有

定理成立，即②

存在此主理想整環的

，使

，此性質的證明不需要歐式運算，由環的理想都是主理想可以推出。

所以有推論主理想整環中只要

互素，那麼就存在主理想整環的

，使

。

那麼不是歐式整環的主理想整環是哪些呢？

我研究生用的抽象代數教材給的是代數數論的例子，當然還有代數數論以外的例子。

具體例子如下：

最近在學抽象代數，想問一下是主理想整環卻不是歐式環的例子？

抽代雜談（8）：構造不是歐幾里得環的主理想整環

⑵不是主理想整環的唯一分解整環，

定理不一定成立。

舉個例子：

是唯一分解整環，因為有定理：唯一分解整環上的多項式環還是唯一分解整環，而

是唯一分解整環，同時我們知道它不是主理想整環：

參考：

劉醉白：（x，n）是一個理想，具體點是什麼？

我們知道

和

是互素的，但是不存在

和

使

成立。（如果換成

和

，那麼

定理成立。）