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代數結構筆記（三）

作者：由 Copyleft 發表于 書法時間：2020-08-12

實數、複數系統包含兩個基本的二元運算：加法與乘法。在

群論

中，我們只注重於處理某一個

二元運算

，而沒有設計兩個二元運算之間的關係（比如，分配律）。本文將建立一種新的、包含兩種二元運算的代數結構——環和域。

目錄

環的定義

整環、域

子環、環同態

環的定義

定義（環）：在具有兩個二元運算

+

和

*

的集合

R

中，如果滿足

<R,+>

是交換群

<R\space , \space*>

是帶 1

半群

［1］

*

對

+

的左右分配律，即對任意

a,b,c\in R

，有：

(b+c)*a=b*a+c*a

，

a*(b+c)=a*b+a*c

則稱

<R,+,*>

為環

在環中，兩個運算“加法”

+

和“乘法”

*

的地位是不相同的。集合

R

與

*

只構成了帶 1 半群，因此

R

中的元素不一定有“

乘法逆元

”。於是，有乘法逆元的元素稱為環中的可逆元。

交換環：若環中

乘法

*

滿足

a*b=b*a

，則稱該環為交換環。

例：全體

n

階整數方陣

(Z)_n

對於

矩陣加法

、乘法構成

n

階矩陣環

<(Z)_n,+,*>

。其中，全部元素為

0

的

n

階方陣為零元，

n

階單位陣為乘法單位元。該環為非交換環。

由環的定義，我們知道在環中存在一個抽象的乘法單位元

1

，以及一個抽象的加法零元

0

，並且集合

R

與加法

+

運算構成交換群。那麼這兩個特殊的元素有什麼性質呢？

a*0=0*a=0

a*(-b)=(-a)*b=-(a*b)

(-a)*(-b)=a*b

以上結論對於普通代數意義上的加法、乘法顯然成立。對於我們定義的更普遍的“加法”、“乘法”運算，下面我們來說明它們的正確性：

對於1：

a*0=a*(0+0)=a*0+a*0

，利用群

<R,+>

的消去律即得證

對於2：

a*(-b)+(a*b)=a*(-b+b)=a*0=0\Rightarrow a*(-b)=-(a*b)

，同理可證另一式

(-a)*(-b)=-(a*(-b))=-(-(a*b))=a*b

由此性質，我們可以發現，

如果一個環的加法零元 #FormatImgID_37# 等於乘法單位元 #FormatImgID_38#

，那麼可以推出更特殊的性質：

任取

r\in R

，

0_R=r*0_R=r*1_R=r

，即該環中只有

1

個元素，

R=\lbrace 0_R\rbrace

！

定義：在環

<R,+,*>

中，若

|R|=1

，那麼

R=\lbrace 0_R\rbrace=\lbrace 1_R\rbrace

，稱該環為平凡環

如果

|R|

不為

1

，那麼

0_R

與

1_R

也不會相等，該環一定為非平凡環。

例：環

R

中所有可逆元的集合為

H

，那麼

<H,*>

構成群

證明：帶1半群的性質已經使得結合律成立；可逆元進行

*

運算，可以找到它們乘積的逆，即乘積也是可逆元，也屬於

H

，封閉性成立；

1_R

也有可逆元（自身），也屬於

H

，可以作為新群的單位元。綜上分析，

<H,*>

構成群

2。整環、域

本節介紹兩種特殊的環：整環、域。

對於最普通的整數環，我們可以由

a*b=0

推出

a=0

或者

b=0

。但是，對於其它的環，比如模4同餘類環

<Z_4,+,*>

中，

[0]

是加法零元，但是

[2]*[2]=[0]

當然無法推出

[2]=[0]

。可見，我們在普通代數運算中的這個結論無法推廣到所有的群上使用。為了進一步研究環中

+

和

*

運算的關係，我們引入了

零因子

這個概念：

定義（零因子）：

在環

<R,+,*>

中，對於任何非零元素

a\in R

，如果

存在

一個非零元素

b\in R

，使得

a*b=0

，那麼稱

a

為左零因子；如果

存在

一個非零元素

c

使得

c*a=0

，那麼稱

a

為右零因子。如果

a

既是左零因子，又是右零因子，那麼

a

稱為

零因子

比如本部分開頭提到的模4同餘環中的元素

[2]

，就是一個零因子。

如果一個環中沒有左零因子，說明什麼？

該環上的乘法 #FormatImgID_78# 運算滿足左消去律

！

如果沒有左零因子，那麼

a\neq 0, \space a*b=0\rightarrow b=0

，之後可以得到：

a\neq 0,ab=ac\Rightarrow a(b-c)=0\Rightarrow b-c = 0\Rightarrow b=c

，即等式兩邊可同時約去非零乘法因子

a

，左消去律成立。

同理，若環中乘法

*

滿足左消去律，那麼環中也不會存在左零因子。對於“右”的結論同樣成立。

定義（整環）：非平凡交換環中

<R,+,*>

中，如果沒有零因子，則稱之為整環

顯然，在整環中左右消去律成立；且若

a*b=0

，那麼必有

a=0

或者

b=0

定理：在整環中，每個

非零元素

的加階或者是無限的，或者是素數

證明：若

1_R

的加階是無限的，假設非零元素

a

的加階是一有限數

m

，那麼有

a+…+a=(1_R+…+1_R)*a=0_R

，（省略號代表

m

個同樣數相加），則有

1_R*a=0_R

，根據整環的性質以及

a

為非零元素，可以推出

1_R=0_R

，而這又代表該環為平凡環，顯然矛盾，故此時非零元素

a

的加階一定是無限的

若

1_R

的加階是有限的，設為

k

。若

k=xy，(x，y\neq 1，x，y\neq k)

，那麼

k

個

1_R

相加等於

0_R

可推出

x

或者

y

個

1_R

相加都等於

0_R

，這不符合群中關於階的定義（要求運算最少次後為單位元的運算次數），因此假設不成立，

k

除了

1

和自身外沒有其它因子，為素數。不難得出，此時任意非零元素

a

的加階也是此素數

k

。

定義（整環的特徵）：整環中，若非零元素的加階稱為該整環的特徵。若加階為無限的，則該整環的特徵為

0

例：在特徵為

p

的整環中，有

(a+b)^p=a^p+b^p

。這是因為展開式中的組合數都是

p

的倍數，乘以其它項後得

0

我們在討論了整環的引出、定義、簡單性質後，再來看下域的概念：

定義（域）：在非平凡

交換環

R

中，如果對每個非零元素

a

，都存在

a^{

，使得

a*a^{

，則稱該環為域

換句話說，域要求

R

中所有非零元素和

*

運算構成交換群。

最後，我們介紹整環與域這兩種特殊環之間的關係，結束這一部分的討論

定理：域是整環。有限整環是域。

域是整環不難推出。因為如果在域中，有

a\neq 0

且

a*b=0

，那麼我們先根據域的性質設出

a

的

逆元

a^{

，之後有

b=1_R*b=(a^{

，這樣就滿足了整環的定義。有限整環是域的證明這裡不再給出，有興趣的讀者可以自行研究。

3。子環和環同態

定義（子環）：

在環

<R,+,*>

中，

S

是

R

的

非空子集

，如果滿足：

<S,+>

是

<R,+>

的

子群

S

上的

*

運算封閉

環中乘法

單位元

1_R\in S

則稱

<S,+,*>

是

<R,+,*>

的子環。顯然，子環也滿足環的定義。

定義（環同態）：現有兩環

<R_1,+_1,*_1>

與

<R_2,+_2,*_2>

，

f

是從

R_1

到

R_2

的對映，

1_{R_1}

和

1_{R_2}

分別是兩環的乘法單位元。如果對於

\forall a,b\in R_1

，有：

f(a+b)=f(a)+f(b)

f(a*b)=f(a)*f(b)

f(1_{R_1})=1_{R_2}

（其中自變數的運算是

R_1

上的運算，像的運算是

R_2

上的運算，此處及之後環同態相關的書寫中不做角標區分，望注意）

那麼稱

f

是從

R_1

到

R_2

的環同態對映。和群同態相似的，如果

f

是滿射/單射/雙射，那麼

f

又被稱為

滿環同態

/單一環同態/環同構 對映。

環同態對映也有一些類似於群同態對映的性質：

f(0_{R_1})=0_{R_2}

f(-a)=-f(a)

若

a\in R_1

是

R_1

中的可逆元，那麼

f(a)

是

R_2

的可逆元並且

f(a^{

前兩條性質直接用

<R,+>

是群再結合群同態的性質即可得到。後者根據

f(a)*f(a^{

即可得到。

下面我們看一個例子：

例：

<Z\times Z,+,*>

與

<Z,+,*>

都是環，令

f:Z\times Z\rightarrow Z

，

f((a,b))=a

。顯然

f

是一個環滿同態對映。但是，前者

<Z\times Z,+,*>

並不是一個整群，而

<Z,+,*>

顯然是

整群

。這說明了，

環同態對映並不一定能完整保持環的所有代數結構

。而環同構對映可以。

定理：

f

是從環

R_1

到

R_2

的

同構對映

，如果

R_1

是整環/域，那麼

R_2

也是整環/域

下一篇文章將介紹該部分的重難點——理想、

商環

等知識。

參考

^

具體定義可參考筆記（一）

標簽： 整環  運算  同態  乘法  環中 

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