一步步學會隨機有限集 之 貝葉斯遞迴濾波

之前已經介紹基於隨機有限集理論的運算方式，這篇文章來解釋貝葉斯濾波迭代。

對於多目標跟蹤問題，求解的過程主要是基於貝葉斯濾波迭代和模型，我們常常聽到的卡爾曼濾波器（Kalman Filter）和粒子濾波器（Particle Filter）等等都是基於貝葉斯濾波迭代的，讓我們簡單回顧一下：

貝葉斯濾波是基於貝葉斯規則的，學過機率論的同學應該會有印象，貝葉斯規則其實很簡單，就是：

其中

是事件B發生的機率，

是在事件B發生後，事件A發生的機率；公式右側也是類似。這個公式有什麼用呢？我們稍微調整一下形式：

此時這個公式的意義就變成了，在事件B發生之後事件A發生的機率可以由另外三項計算得到。讓我們來看一個簡單的例子：一個班裡有10個男生，10個女生，如果隨機抽一個人，我們就用事件A表示抽到的人是男生，

就是抽到男生的機率，這裡是1/2；然後夏天到了，很多同學穿起了裙子，女生裡一般有5人穿裙子，男生裡有一人穿裙子（別問我為什麼，手動狗頭），事件B就是穿裙子。那我們提問抽到一個穿裙子的同學，它是男生的機率是多少？我們可能一下子回答不出來（說一下就能算出來的同學先坐下），但是用貝葉斯公式，我們可以算出

，即男生中穿裙子的機率是十分之一，以及整個班裡穿裙子的機率

，接著就能算出穿裙子的人中男生的機率

這個例子可能大家要說，總共就6個人穿裙子，一個是男生，不是直接就算出來了嗎？讓我們再看一個例子，家裡的煙霧報警器，現在我們把事件A和B分別替換成真的發生火災和煙霧報警器響，假設我們知道火災是20年發生一次，而煙霧報警器平均每三個月都要響一次（可能是有人偷偷抽菸），那麼現在問，如果煙霧報警器響了，此時發生火災的機率，這個機率就沒這麼容易算了，那麼現在就是貝葉斯規則發揮的時候了。直接算這個題不容易，但是我們知道火災機率（以月為基礎單位）

，而

， 另外我們假設火災時煙霧報警器響的機率是百分之九十，即

。那麼現在我們就可以得到煙霧報警器響的時候發生火災的機率

現在大家應該能體會到貝葉斯公式的意義，即在很多時候，對於我們想要求的

並不是直接能得到的，例如在目標追蹤領域，我們通常是先得到了測量結果，再反過來推算目標的真實位置。

現在我們回到貝葉斯遞迴濾波，其本質也是利用貝葉斯規則，只不過是遞迴的計算，每一步計算中都用了上一步得到的結果（關於為什麼要用遞迴，在我另一篇文章裡有詳細介紹：

https：//

zhuanlan。zhihu。com/p/13

3862177

）。通常由兩個步驟，分別為

預測

和

更新。

預測：即透過我們假設的運動模型和上一步的結果，來預測這一時刻目標可能的狀態

更新：透過在這個時刻又接收到的新的測量結果和測量模型，結合預測步的結果，來更新目標狀態。

公式如下：

預測：

更新：

其中z是測量結果的集合，x是目標狀態的集合。其實就是把之前的A和B替換成了x和z。我們觀察可以發現，如果我們把

看作p（z），那麼更新步其實就是用了貝葉斯規則，而對於p（x），則是用了預測結果來代替（預測步是利用了Chapman-Kolmogorov公式）。

我們對於每一項都賦予新的術語：

：傳遞密度

：上一步的後驗密度

：先驗密度

：後驗密度

：測量似然

：預測似然

可以發現要使這個過程傳遞起來，除了初始值以外，其中兩項

和

必須要得到計算，而要計算這兩項分別需要運動和測量模型，我會在之後著重介紹。其中要注意的是，因為是基於RFS理論，這裡的x和z都是隨機有限集，機率密度函式也遵循集合的計算方式。