MP69：典型群(3)：三維空間的旋轉，Pauli矩陣、四元數、SO(3)~RP3、SU(2)~S3

作者：由 jRONI 發表于攝影時間：2018-12-07

MP67：典型群（1）：拓撲性質

本講繼續探討三維空間的旋轉問題。我們將概括地介紹各種描述旋轉的數學結構。先回顧一下平面旋轉：

單位圓

可以描述旋轉，因為旋轉只和角度有關，單位圓可以提供角度資訊，而在圓上徑向長度資訊是退化的；

特殊正交群

可以描述旋轉，它是旋轉的矩陣表示；

複數可以描述旋轉，因為複數的乘法蘊含著旋轉的合成，反過來也可以從旋轉矩陣構造複數的乘法；MP1：重溫高等數學：複平面與Euler公式

對等地，我們在三維空間研究旋轉時考慮幾個問題：

如何用球面體現旋轉；

的性質；

類似複數的，可以表達三維旋轉的數系——四元數；

三維旋轉問題比二維更復雜：

二維旋轉無需考慮旋轉軸，因為旋轉軸在平面上退化為一點。在三維，旋轉軸需要明確地描述，比如用球面上的對徑點；

對徑點引發了等價的問題，一旦等價又涉及到射影空間；

此外，四元數、Pauli矩陣、

之間又有互相表達的關係。

三維旋轉的表達

MP67：典型群（1）：拓撲性質中提到

微分同胚(diffeomorphic)

於三維實射影空間

$\mathbb RP^3$

。現在把幾種相關的旋轉表達梳理一下：

球面 #FormatImgID_7# 表達的旋轉

：確定三維旋轉的是旋轉軸

和旋轉角度

$\theta$

。旋轉軸

和球面

有兩個對徑的交點

$s^\pm \in S^2$

，旋轉角度取值於

$(-\pi,\pi)$

。旋轉角度可以一點緊化為

，於是三維旋轉可以由Cartesian積

$S^2 \times S^1 = S^3$

表達。

實射影空間 #FormatImgID_16# 表達的旋轉

：此外，旋轉軸

同時確定兩個對徑點

$s^\pm \in S^2$

，而其中的任何一個對徑點就可以確定旋轉軸。這兩個點上以相反的角度旋轉，造成的旋轉效果是相同的。熟悉代數的我們立即就可以發現這是一個等價關係

$\sim$

，三維實射影空間

$\mathbb RP^3$

就是用球面

商掉這個等價關係構造出來的，即

$\mathbb RP^3 = S^3/\sim$

。

球體表達的旋轉

：三維旋轉可以用

$S^2 \times (-\pi,\pi) \sim \{ (x,y,z) \in \mathbb R: \ x^2 + y^2 + z^2 < 1 \}$

表達。這是一個實心球體，點到球心的距離是旋轉角度，

是旋轉軸所在的球面。經過上述對徑化處理，可以轉換為

$\mathbb RP^3 \times [0, \pi)$

。

用

表達三維旋轉，每個旋轉元都滿足：

在

$\mathbb R^4$

中理解嵌入的

就比較容易了。更重要的，它和四元數相關：

Pauli矩陣和四元數

二維Hermite矩陣有一個方便的工具：

Pauli矩陣

$\sigma_0 = \mathbb I_2 =\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}, \ \ \sigma_1 = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}, \ \ \sigma_2 = \begin{bmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \end{bmatrix}, \ \ \sigma_3 = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix} \tag{1}$

它們構成了二維Hermite矩陣的一個基，可以自行驗證。它有一些簡單的性質：

$\sigma_i^2 = \mathbb I_2 = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}: \ i=1,2,3 \tag{2}$

如下構造：

$I = -i\sigma_1 = \begin{bmatrix} 0 & -i \\ -i & 0 \end{bmatrix}, \ \ J = -i\sigma_2 = \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}, \ \ K = -i\sigma_3 = \begin{bmatrix} -i & 0 \\ 0 & i \end{bmatrix} \tag{3}$