這種對稱型別的行列式怎麼解?

何冬州楊巔楊豔華典生2022-08-20 14:15:57

容易看出，所求行列式為反對稱行列式，即反對稱矩陣的行列式，由奇數階反對稱行列式之雅可比定理，立即得det［A］=0。

解：易見A=-A‘，A為5階方陣。

故det［A］=det［-A’］=（-1）^5*det［A‘］=-det［A］，故det［A］=0。

推廣：

奇數階反對稱行列式之雅可比定理

：A為反對稱矩陣，即A=-A’，A為階數n為奇數，則det［A］=0。

證明：

引理一、det［A］=det［A‘］，這裡角標’表示矩陣轉置。

引理二、det［kA］=k^n*det［A］，這裡n為A的階。

依引理，有det［A］=det［-A‘］=（-1）^n*det［A’］=-det［A］，故det［A］=0。

名詞討論參考：方陣A=-A‘，稱A為反對稱矩陣（skew-symmetric matrix）。反對稱矩陣又稱反對稱方陣，反對稱陣，反稱矩陣，反稱方陣。也叫斜對稱矩陣，斜對稱方陣，斜對稱陣，為什麼？還有什麼其他的合適的名稱，我們可以考慮考慮，比如反襯矩陣？可參考 斜對稱矩陣_百度百科

偶數階反對稱行列式的計算

，可參考 Pfaffian 值，Pfaffian 多項式，以下資料有詳解：

［高代習題課拓展］ 反對稱陣的Pfaffian

行列式的組合定義及其應用——反對稱陣的Pfaffian - torsor - 部落格園

請問什麼是矩陣的Pfaffian？

（其中 風宇·天泉 提到 pfaffian15。pdf （純英文論文） ）

淺談普法夫（Pfaffian）型

以下資料略有提到

偶數階反對稱行列式的計算 之

Pfaffian 值。

萬維百科-反對稱矩陣

萬維百科-普法夫值 （Pfaffian value）