球面緯度圓的球面曲率分析

圖一

如圖一，我們用球面座標系的α角和β角來表示球面上的點。

圖二

如圖二，我們來分析一下緯度圓的球面曲率。水平黑色小圓為緯度圓。水平黑色大圓為赤道圓。我們畫緯度元的切線。我們可以用大圓畫，也可以用小圓畫。那麼緯度圓的切線是哪一條呢？我們認為只有緯度圓的密切圓才是緯度圓的切線。所以緯度圓的切線就是緯度圓自身，就是緯度圓它自己。所以緯度圓任何一點的切線與赤道圓的夾角（球面角）都是不變的。

這說明什麼？

這說明在球面上緯度圓並未發生彎曲。或者說緯度圓的球面轉角為零。

我們定義：球面曲率為球面曲線的球面轉角與其弧長的比。

既然轉角為零，而弧長不為零（切點之間有弧長），那麼緯度圓的球面曲率就只能是零了。

所以，從球面曲率的角度來看，緯度圓的球面曲率等於零。當然，很容易理解，從球面曲率的角度赤道圓的球面曲率也等於零。

顯然，球面一般的圓（非緯度圓或非赤道圓）的球面曲率也等於零。

所以，我們的結論就是球面上的圓的球面曲率皆等於零。所以我說球面上的圓皆為球面上的直線。

我們這個結論與目前的球面幾何是不同的，目前的球面幾何只認為大圓才是球面直線，或者說目前的球面幾何只認為大圓的測地曲率等於零。所以，我們的球面直線的外延比目前的球面幾何要大得多。