雙線性函式基礎

作者：由捲心菜發表于攝影時間：2021-11-24

嘗試回答下面問題：

雙線性函式基礎

1。什麼是雙線性函式？

2。舉一個雙線性函式的例子（除了最簡單向量內積）

3。什麼是雙線性函式的度量矩陣？

4。寫出一個你所舉例子中的度量矩陣

5。用過渡矩陣對所選的基進行變換後，度量矩陣會發生怎樣的變化？

對稱雙線性函式基礎

1。什麼是對稱雙線性函式，什麼是反對稱雙線性函式？

2。對稱雙線性函式的度量矩陣是對稱矩陣嗎？如何證明？

3。是否有“若

為

$\mathbb C$

上的對稱雙線性函式且

$f(\xi,\xi)=0$

，則

$\xi=0$

”？

4。是否有“如果

$f(\alpha,\beta)$

是定義在複數域線性空間上維數>1的對稱雙線性函式，則有線性無關的向量

$\xi,\eta$

使得

$f(\xi,\eta)=1, f(\xi,\xi)=f(\eta,\eta)=0$

”？簡述理由

反對稱雙線性函式基礎

1。反對稱雙線性函式的度量矩陣是反對稱矩陣嗎？如何證明？

2。反稱雙線性函式的充要條件是

$\forall \alpha\in V$

都有

$f(\alpha,\alpha)=0$

（北大第四P418 T13）

雙線性函式基礎和度量矩陣

什麼是雙線性函式？

$f(\alpha, k_1\beta_1+k_2 \beta_2)=k_1f(\alpha, \beta_1)+k_2f(\alpha,\beta_2)$

$f(k_1\alpha_1+k_2\alpha_2, \beta)=k_1f(\alpha_1, \beta)+k_2f(\alpha_2,\beta)$

能否舉一個具體的雙線性函式的例子（除了最簡單向量內積）

，其中

$X,Y\in P^{m\times n}, A \in P^{m\times m}$

。驗證它是雙線性函式，只需

即可

這使用了跡的線性性質，這個雙線性函式在歐幾里得空間中是內積，且定義了名為Frobenuis的範數

什麼是雙線性函式的度量矩陣？

給出

$f(\alpha,\beta)$

中

$\alpha$

和

$\beta$

所在空間V的一組基

$\epsilon_1,...,\epsilon_n$

，度量矩陣為

$(f(\epsilon_i,\epsilon_j))_{n\times n}$

能否寫出一個你所舉例子中的度量矩陣？（北大第四P417 T10）

先給出

$P^{m\times n}$

的一組基：

$E_{1,1},E_{1,2},...,E_{m,n}$

，其中

$E_{i,j}$

表示只有第i行第j列元素為1，其餘元素為0

先計算度量矩陣左上角的元素，計算

$f(E_{11},E_{11})=Tr(E$

計算

$f(E_{11},E_{12})=Tr(E$

計算

$f(E_{i_1,j_1}, E_{i_2,j_2})=Tr(E$

根據上述一般結果寫出矩陣即可。（附上草稿紙）

用過渡矩陣對所選的基進行變換後，度量矩陣會發生怎樣的變化？

“新基等於舊基度，新矩等於逆舊矩“

這與內積的度量矩陣性質相同

對稱雙線性函式基礎

什麼是對稱雙線性函式，什麼是反對稱雙線性函式？

對稱雙線性：

$f(\alpha,\beta)=f(\beta,\alpha)$

反對稱雙線性：

$f(\alpha,\beta)=-f(\beta,\alpha)$

對稱雙線性函式的度量矩陣是對稱矩陣嗎？如何證明？

任意一組基下，對稱雙線性函式的度量矩陣正定。思路如下：

因為

$\forall \alpha,\beta \in V, f(\alpha,\beta)=X$

，

根據對稱雙線性定義+二次型性質

選取

$X=\epsilon_i, Y=\epsilon_j$

，則有

$a_{ij}=a_{ji}$

，證畢。

是否有“若

為

$\mathbb C$

上的對稱雙線性函式且

$f(\xi,\xi)=0$

，則

$\xi=0$

”？簡述理由。（北大第四P418 T12）

不一定成立。// 這是定義在歐幾里得空間中內積的正定性（歐幾里得空間定義在

$\mathbb R$

），這裡不一定成立

理由：可以選擇一組基，使得

在這組基下的度量矩陣為

$A=\left(\begin{array}{} E_r & 0\\0 &0 \end{array}\right)$

的形式，其中

為度量矩陣的秩如果n=r=1，此時原命題成立，因為

$f(\alpha,\alpha)=(x_1)$

，如果

$n\geq 2$

，此時原命題不成立，原因：

當

的座標為

$(\underbrace{0,...,0}_{r個零},\underbrace{1,...,1}_{n-r個1})$

使得

$f(\xi,\xi)=\xi$

，當

時，我們可以找到一個

$\xi$

的座標為

使得

$f(\xi,\xi)=0$

是否有“如果

$f(\alpha,\beta)$

是定義在複數域線性空間上維數>1的對稱雙線性函式，則有線性無關的向量

$\xi,\eta$

使得

$f(\xi,\eta)=1, f(\xi,\xi)=f(\eta,\eta)=0$

”？簡述理由

成立。可以使用構造法證明

取

$\xi=(\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{i}{\sqrt{2}},0,\cdots,0)$

，這使得

$f(\xi,\xi)=(\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{i}{\sqrt{2}},0,\cdots,0)$

（f作為對稱雙線性函式，在上一題所選定的基下，度量矩陣為

）取

$\eta=(\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{-i}{\sqrt{2}},0,...,0)$

，這使得

$f(\eta,\eta)=0$

，且

$f(\xi,\eta)=1$

反對稱雙線性函式基礎

反對稱雙線性函式的度量矩陣是反對稱矩陣嗎？如何證明？

任意一組基下，反對稱雙線性函式的度量矩陣正定。思路同對稱雙線性函式

反稱雙線性函式的充要條件是

$\forall \alpha\in V$

都有

$f(\alpha,\alpha)=0$

（北大第四P418 T13）

必要性：

提示：能否寫出反稱雙線性函式的定義？

充分性：由於

$f(\alpha,\alpha)=0$

對於任意

$\alpha$

成立，故

$\forall\beta\in V, f(\alpha+\beta,\alpha+\beta)=0=f(\alpha,\alpha)+f(\alpha,\beta)+f(\beta,\alpha)+f(\beta,\beta)=f(\alpha,\beta)+f(\beta,\alpha)=0$

，所以反稱。

標簽：雙線性矩陣函式度量對稱

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雙線性函式基礎

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