同調代數(4)：Tor和Ext

作者：由 ZCC 發表于攝影時間：2022-04-24

本部分內容整理自2022/3/19討論班的內容，僅列提綱。

約定

若無特別說明，我們涉及的環均為交換的含么環。

Tor函子

平衡函子

定義 4.1.1[左平衡函子]

一個

左平衡

（left balanced）函子指的是形如

$\quad T\colon \prod_{i=1}^n\mathcal{C}_i\to\mathcal{D}$

的右正合函子，滿足對任意

和

$\mathcal{C}_i$

中的投射物件

，將

的第j個變數固定為

得到正合函子

$\quad \begin{align} \prod_{1\le i\le n,i\ne j}\mathcal{C}_j&\to\mathcal{D}\\ (A_1,\cdots,A_{j-1},A_{j+1},\cdots,A_n)&\mapsto T(A_1,\cdots,A_{j-1},P_j,A_{j+1},\cdots,A_n) \end{align}$

對偶地有右平衡函子的概念。

由於投射模總是平坦的，由平坦模的等價條件我們知道張量積函子

$\quad \otimes_R\colon\mathsf{Mod}(R)\times \mathsf{Mod}(R)\to \mathsf{Mod}(R)$

是左平衡的。

定理 4.1.2

對於左平衡函子

$\quad T\colon \prod_{i=1}^n\mathcal{C}_i\to\mathcal{D}$

和

$\mathcal{C}_i$

中的物件

，將

的第j個變數以外的變數固定為

（

$i\ne j$

）得到函子

$\quad \begin{align} \mathcal{C}_j&\to\mathcal{D}\\ A&\mapsto T(A_1,\cdots,A_{j-1},A,A_{j+1},\cdots,A_n) \end{align}$

則對任意

存在自然同構

$\quad L_n(T_i)(A_j)\cong L_n(T_j)(A_i)$

特別地

$\quad L_n(\cdot\ \otimes_RB)(A)\cong \mathrm{Tor}^R_n(A,B)\cong L_n(A \otimes_R\cdot)(B)$

Weibel的書上利用Acyclic Assembly Lemma針對此特別情形給出了證明（見主要參考文獻1中的pp58-59）。

引理 4.1.3[Acyclic Assembly Lemma]

對於

$\mathsf{Mod}(R)$

上的雙復形

，若它滿足

（1）。僅在下半平面非零，即

蘊含

$X^{n,m}=0$

。

（2）。每一行（作為復形）都是正合列。

則其關聯復形

$\mathrm{Tot}(X)$

反迴圈，即擬同構於零復形。

證明從略，見主要參考文獻1中的pp59-61。

類似地，容易看到Hom函子

$\quad \mathrm{Hom}_R(\cdot\ ,\cdot)\colon\mathsf{Mod}(R)^\mathrm{op}\times \mathsf{Mod}(R)\to \mathsf{Mod}(R)$

是右平衡函子，相應地有

$\quad R^n(\mathrm{Hom}_R(\cdot\ ,B))(A)\cong \mathrm{Ext}^n_R(A,B)\cong R^n(\mathrm{Hom}_R(A,\cdot))(B)$

具體計算

涉及具體計算時，我們常常需要的是

$\mathrm{Tor}^\mathbb{Z}_n(A,B)$

。

由模張量積的交換約束

$A\otimes_R B\cong B\otimes_R A$

我們不難得到

定理 4.2.1

$\mathrm{Tor}^R_n(A,B)\cong \mathrm{Tor}^R_n(B,A)$

透過dimension shifting trick（見主要參考文獻1的pp47），任取理想

$I\le R$

有

模的短正合列

$\quad 0\to I\to R\to R/I\to 0$

這給出

定理 4.2.2

若

則對任意

模

有

$\quad\begin{align} \mathrm{Tor}^R_n(M,R/I)\cong \mathrm{Tor}^R_{n-1}(M,I) \end{align}$

而當

時有

$\quad \mathrm{Tor}^R_1(M,R/I)\cong \ker (M\otimes_R\iota_I)$

這裡

$\iota_I$

為嵌入

$I\hookrightarrow R$

。

作為推論

定理 4.2.3

任取正整數

$\quad \mathrm{Tor}^\mathbb{Z}_n(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z},B)=\begin{cases} B/pB&n=0\\ _pB&n=1\\ 0&n\ne 0,1 \end{cases}$

這裡

$\quad _pB=\{b\in B:pb=0\}$

當然也可以透過

$\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$

的投射/平坦預解

$\quad 0\to p\mathbb{Z}\to \mathbb{Z}\to \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}\to 0$

直接計算。

定理 4.2.4

對於任意Abel群

有

（1）。

$\mathrm{Tor}^\mathbb{Z}_0(A,B)=A\otimes B$

（2）。

$\mathrm{Tor}^\mathbb{Z}_1(A,B)$

是一個撓群

（3）。

$\mathrm{Tor}^\mathbb{Z}_n(A,B)=0$

，若

$n\ge 2$

只需注意到任意Abel群都是其有限生成子群的濾餘極限，而Tor函子與餘極限交換，按此將問題轉化到

為有限生成Abel群的情形，此時可由有限生成Abel群的結構定理直接計算。

透過類似的想法可以證明Abel群

的撓子群等同於

$\mathrm{Tor}^\mathbb{Z}_1(A,\mathbb{Q}/\mathbb{Z})$

。

定理 4.2.5

Abel群

是無撓群當且僅當

$\mathrm{Tor}^\mathbb{Z}_1(A,B)=0$

對任意Abel群

成立。

對於

模

和環同態

$f:R\to S$

，可以透過

定義

在

上的作用使之成為

模，這時就會自然考慮

作為不同環上的模來算Tor時會有什麼情況出現。

定理 4.2.6

若在環同態

$f:R\to S$

下

是一個平坦

模，則對任意整數

，任意

模

和

模

都有典範同構

$\quad\begin{align} \mathrm{Tor}^R_n(A,B)\cong \mathrm{Tor}^S_n(A\otimes_RS,B) \end{align}$

這裡透過定義

使

$A\otimes_RS$

成為一個

模。

平坦模

我們曾經提過平坦模的若干等價刻畫：

定義 4.3.1[平坦模]

稱

是一個平坦（flat）

-模，若它滿足以下兩兩等價的條件：

（1）。函子

$\cdot\otimes_RM$

正合；

（2）。函子

$\cdot\ \otimes_RM$

將單態射映為單態射；

（3）。對任意

-模

和正整數

，

$\mathrm{Tor}_n^R(M,N)=0$

；

（4）。對

的任意有限生成理想

，

$\mathrm{Tor}_1^R(M,R/I)=0$

；

（5）。

是自由

-模的濾餘極限；

透過等價刻畫（4）和Tor作為匯出函子的δ函子性質確定的長正合列，就有

定理 4.3.2

對於

-模短正合列

$\quad 0\to M$

其中

平坦，則

平坦當且僅當

平坦。

註記

自由模都是投射模，投射模都是平坦模。

定義 4.3.3[Pontrjagin對偶]

對於

-模

可以定義其Pontrjagin對偶

，其underlying Abel group是

$\quad \mathrm{Hom}_\mathsf{Ab}(B,\mathbb{Q}/\mathbb{Z})$

並透過

定義

在

上的作用使之成為

模。

這種構造給出函子

$*:\mathsf{Mod}(R)\to\mathsf{Mod}(R)^\mathrm{op}$

，此函子具有相當良好的性質。比如可以直接從集合意義上驗證：

定理 4.3.4

模同態

$f:A\to B$

是單射當且僅當

$f^*:B^*\to A^*$

是滿射。即

忠實地把單態射變為單態射。

在Pontryagin對偶的意義下，平坦模是內射模的對偶：

定理 4.3.5

是平坦模當且僅當

是內射模。

最後我們說明如下結論：

定理 4.3.6

有限展示的平坦模是投射模。

Ext函子

具體計算

我們仍主要關注

$\mathrm{Ext}_\mathbb{Z}^n(A,B)$

。

考慮到可除群的商群仍可除，因此任意Abel群都存在長度不超過1的內射預解

［1］

，故直接計算得

定理 4.4.1

對於

$n\ge2$

有

$\mathrm{Ext}_\mathbb{Z}^n(A,B)=0$

。

不同於Tor函子， Ext函子的兩個變數換序之後沒有典範的同構。由於第0個Ext就是Hom，基於以上結果我們主要關注的就是

$\mathrm{Ext}_\mathbb{Z}^1$

。

對於正整數

直接考慮

$\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$

的投射預解

［2］

$\quad 0\to p\mathbb{Z}\to \mathbb{Z}\to \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}\to 0$

可以直接計算出

定理 4.4.2[

$A=\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$

的情形]

對於任意Abel群

有

$\quad\mathrm{Ext}_\mathbb{Z}^0(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z},B)=_p\!\!B$

$\quad \mathrm{Ext}_\mathbb{Z}^1(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z},B) =B/pB$

由於

$\mathbb{Z}$

本身就是自由Abel群，故可直接得到

定理 4.4.3[

$A=\mathbb{Z}$

的情形]

對於任意Abel群

有

$\quad \mathrm{Ext}_\mathbb{Z}^0(\mathbb{Z},B)=B$

$\quad \mathrm{Ext}_\mathbb{Z}^1(\mathbb{Z},B) =0$

這樣若

為有限生成的Abel群

［3］

，可設

$\quad A=\mathbb{Z}^m\oplus\left(\bigoplus_i \mathbb{Z}/p_i\mathbb{Z}\right)$

則由於Ext函子保濾極限

$\quad \mathrm{Ext}_\mathbb{Z}^1(A,B)=\bigoplus_i B/p_iB$

第二個變數考慮起來稍微麻煩一點。首先透過

$\mathbb{Z}$

的內射預解

$\quad 0\to\mathbb{Z}\to\mathbb{Q}\to\mathbb{Q}/\mathbb{Z\to0}$

直接計算可得

定理 4.4.4[

$B=\mathbb{Z}$

的情形]

對於任意撓Abel群

，有

$\quad \mathrm{Ext}_\mathbb{Z}^0(A,\mathbb{Z})=0$

$\quad \mathrm{Ext}_\mathbb{Z}^1(A,\mathbb{Z})=A^*$

這裡

是

的Pontrjagin dual。

當然對於一些比較特殊的情形直接會有

$\mathrm{Ext}_R^n=0$

。透過Ext函子作為δ函子的性質以及正合函子的匯出為零的性質，立刻有

定理 4.4.5

是投射

模當且僅當對任意

$n\ne 0$

都有

$\mathrm{Ext}_R^n(A,\cdot )=0$

。

是內射

模當且僅當對任意

$n\ne0$

都有

$\mathrm{Ext}_R^n(\cdot\ ,B)=0$

。

擴張理論

對於一般Abel範疇

$\mathcal{A}$

，同樣有Hom函子

$\quad \mathrm{Hom}(\cdot\ ,B)\colon\mathcal{A}\to\mathsf{Ab}$

它也是左正合的，因此可以定義

$\mathcal{A}$

中的Ext函子為匯出函子

$\quad\mathrm{Ext}^n_\mathcal{A}(A,B)=R^n \mathrm{Hom}(\cdot\ ,B)(A)$

我們將刻畫

$\mathrm{Ext}^1$

和擴張理論的關係。

定義 4.5.1[擴張]

對於

$\mathcal{A}$

中的物件

，一個

過

的

擴張

（extension of A by B）指的是形如

$\quad 0\to B\to X\to A\to0$

的短正合列。

所有

過

的擴張構成了

$\mathcal{A}$

中短正合列範疇的全子範疇，若在此範疇中的兩個擴張同構，我們也稱這兩個擴張是等價的。等價於分裂正合列

$\quad 0\to B\to A\oplus B\to A\to0$

的擴張稱為分裂擴張。

警告

即使在兩個擴張

$\quad 0\to B\to X\to A\to0$

$\quad 0\to B\to X$

中有

$X\simeq X$

這兩個擴張也未必等價。

作為一個例項可以考察Abel群範疇中

$\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$

過

$\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$

的擴張，我們會發現除了分裂擴張外，還有（p-1）個不等價的擴張均形如

$\quad 0\to\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}\to \mathbb{Z}/p^2\mathbb{Z}\to \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}\to0$

現在將

過

的擴張等價類構成的集合記為

。

定義 4.5.2[Bear和]

對於兩個擴張

$\quad 0\to B\to X\to A\to0$

$\quad 0\to B\to X$

可以定義其和

$\quad 0\to B\to X$

它誘導

中的加法，稱為

Bear和

，使得

是一個Abel群。

具體的構造由如下的交換圖說明：

$\quad\begin{CD} 0@>>>B\oplus B@>>>X\oplus X$

這裡

是對上對角態射

$\nabla$

做推出，

是對對角態射

$\Delta$

做拉回，這樣得到的

$\quad 0\to B\to X$

還是一個擴張，它就是Bear和。

定理 4.5.3

有Abel群的同構

$Ext_\mathcal{A}(A,B)\cong \mathrm{Ext}^1_\mathcal{A}(A,B)$

。

此同構由以下的對映給出：

對於擴張

$\xi$

：

$\quad 0\to B\to X\to A\to0$

考慮

$\mathrm{Ext}^*(\cdot\ ,B)$

作為δ函子匯出正合列

$\quad \mathrm{Hom}(X,B)\to\mathrm{Hom}(B,B)\overset{\partial}\to\mathrm{Ext}^1(A,B)$

考慮

$\Theta(\xi)=\partial(1_B)$

，它給出了對映

$Ext_\mathcal{A}(A,B)\to\mathrm{Ext}^1_\mathcal{A}(A,B)$

。

則

$\Theta$

給出了Abel群的同構。

當然對於一般的

$\mathrm{Ext}^n_\mathcal{A}(A,B)$

也有相應的刻畫。

定義 4.5.4[n擴張]

對於

$\mathcal{A}$

中的物件

，一個

過

的

n擴張

指的是形如

$\quad 0\to B\to E_1\to\cdots\to E_n\to A\to0$

的正合列。類似地也可以定義n擴張的等價，這些等價類構成集合

$Ext_\mathcal{A}^n(A,B)$

。

$Ext_\mathcal{A}^n(A,B)$

上可以定義Bear和使之成為Abel群，有的文獻稱為米田Ext函子。同時有典範的同構

$\quad Ext_\mathcal{A}^n(A,B)\cong\mathrm{Ext}^n_\mathcal{A}(A,B)$

有興趣讀者可以參看主要參考資料2。

基於這種構造，我們可以實際上用擴張的等價類來定義Ext函子，而不必做匯出（也即不必依賴相應範疇中有足夠多的內射物件）。

泛係數定理

定理 4.6.1[Künneth公式]

給定

範疇中的右正合函子

，設

-反迴圈

模的鏈復形

［4］

滿足

$d_n(C_n)\subset C_{n-1}$

還是

-反迴圈

模，則有短正合列

$\quad 0\to FH_n(C)\to H_n(FC)\to L_1F(H_{n-1}(C))\to 0$

主要參考文獻1就

為

$\cdot\ \otimes_RM$

的情形給出了證明，此證明同樣適用於上述一般情況。

該定理亦有針對右匯出的對偶版本。

定理 4.6.2[泛係數定理, UCT]

設

是遺傳環（hereditary ring），即

的任意理想作為

模都是投射模

［5］

。設

是由一些自由

模的鏈復形，那麼對任意

模

， Künneth公式給出的短正合列

$\quad 0\to H_n(C)\otimes M\to H_n(C\otimes M)\to \mathrm{Tor}^R_1(H_{n-1}(C),M)\to 0$

（非典範地）分裂，從而給出同構

$\quad H_n(C\otimes M)\cong H_n(C)\otimes M\oplus \mathrm{Tor}^R_1(H_{n-1}(C),M)$

作為在代數拓撲中的直接應用，給定拓撲空間

和係數群

就有

$\quad H_n(X;A)= H_n(X)\otimes A\oplus \mathrm{Tor}^R_1(H_{n-1}(X),A)$

主要參考資料

Charles A。 Weibel：An introduction to homological algebra的2。7節， 3。1-3。4節， 3。6節。

李文威：代數學方法卷二草稿的3。14節和4。5節。

The Stacks project的12。6節。

參考

我們後面會看到，這可以看作“主理想整環的整體維數不超過1”的推論，因此接下來的定理中的整數環可以替換為一般的主理想整環。。

在對偶範疇中就給出了內射預解。

根據主要參考文獻1的說法，對於非有限生成的Abel群，計算起來就相當麻煩了。

注意我們這裡所提的“鏈復形”指的是微分方向與（上同調）復形相反的。

特別地，主理想整環是戴德金整環從而是遺傳環。

標簽：函子 Abel 定理擴張任意

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