這個題的第二問可以用切線放縮來做嗎？
作者：由 i北城柳絮i 發表于 攝影時間：2022-02-19
氣體君Xen0n2022-02-20 09:49:35這種簡單的導數題你就移到一邊證明不等式不就完了……熟練的話一分鐘就寫完了……
asdawej2022-02-20 13:37:09切線放縮？那不是用來證明的嗎？但我們確實可以用切線。
思路：假設x處相切，有exp（x）-x²-ax=1-x，exp（x）-2x-a=-1，解得x=1，a=e-1。
解：必要性：x=1處成立，有a≤e-1。
充分性：當a≤e-1時，左邊≥exp（x）-x²＋（1-e）x，即證exp（x）-x²＋（2-e）x-1≥0，令其為g（x）。g‘（x）=exp（x）-2x＋2-e，g’‘（x）=exp（x）-2。
顯然，g’（x）於（0，ln2）遞減，於（ln2，＋∞）遞增，且g‘（0）>0，g’（ln2）<0，g‘（1）=0，故存在x0於（0，ln2），g’（x0）=0。則g（x0）為極大值，g（1）為極小值。又g（0）=0，g（1）=0，故g（x）≥0於（0，＋∞）恆成立。
綜上，a範圍為（-∞，e-1］。
Xmathy2022-02-24 23:55:11解：（2）
即
，
其等價於
，
令
，
原題變為：
若
，
，求
的範圍。
，
的一個必要條件是
，而
故
，解得
，
也就是說，單單為了保障
成立，
就必須使得
，
故
之最終範圍，絕不可能在
![\left( -\infty ,\mathrm{e}-1 \right]](https://img.heatask.com/upload/website_attach/PrOmPoLepCJLPfY+aXH7OX=Jw9WIKeDtgT4mNQ80AHO3ypM7Ft85NDNccgjcZHZKM_s7O7Y9Z_G3VFr7Ft8uCEuUWocKsciKQhx=VyD6djj4OZvSWZ3sLv5kB.jpeg)
之外，
而只能是這個範圍的子集。
那麼，是不是這個範圍內的任意數，都能使得
，
成立呢？
答案是肯定的，下面試證之。
因為
，
所以
，
所以
，
所以
，
令
，
所以，若
![\forall a\in \left( -\infty ,\mathrm{e}-1 \right]](https://img.heatask.com/upload/website_attach/bJ=4Q5dVMv1ocoanILQp+5Tnf0GtbIykegL4_cbqyokmdGG8yTzmIt+uJMWrzlC2R7r=xjB6RnamYY_8Hijr1kTIx0AugxEu6uFiDjB6Rns=cJz3eQV3w3T8iG-tclrDONHi_cQYe3Y7Q3urh.jpeg)
，
，
成立，則
，
，
自然成立。
故轉而證明：
，
，
。
求導，得
當
時，
，
，
當
時，
，
，
當
時，
，
，
而
，
故必有
，證畢。
綜上所述：
![a\in \left( -\infty ,\mathrm{e}-1 \right]](https://img.heatask.com/upload/website_attach/I4UDk7tLuRHr6=TAV=RL+sbNdDK10FRf6bNDw_vATlw07OnUS.jpeg%5Cin+%5Cleft%28+-%5Cinfty+%2C%5Cmathrm%7Be%7D-1+%5Cright%5D+)
補充點背景知識：
，
。
（又到了積累不等式的時候，快點記下吧！）
