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1.2.11 電位移向量、介電常數、含有介質時的靜電場高斯定理

作者：由強電弱電那些事發表于繪畫時間：2019-12-04

介質介點常數怎麼讀

從給定的外電場

$\vec{E}(\vec{r})$

出發，透過電介質的電極化率

$\chi$

可以得出電介質中的電極化強度，繼而得出極化電荷分佈，之後就可以求解出因電介質極化過程而建立的電場分佈和電勢分佈，但這樣的做法需要求出極化電荷分佈，顯得非常繁瑣。若能迴避求解極化電荷分佈的過程，則可大大簡化求解外電場中電介質極化的過程。

為此，考慮引用第1。2。8節所述的真空中靜電場的高斯定理，將電介質極化所建立的電場用極化電荷在真空中建立的電場來等效，這時空間中的總電荷應當包含預先給定的電荷分佈

$\rho_e$

（稱為自由電荷）和極化產生的電荷（稱為束縛電荷）分佈

$\rho_p$

兩個部分，相應地，高斯定理為：

$\int_{\partial V} \vec{E}(\vec{r}) \cdot d\vec{S}=4 \pi k \int_V \rho_e dV + 4 \pi k \int_V \rho_p dV$

將

$\rho_p=-\nabla \cdot \vec{P}$

代入上式，並使用向量分析中的散度定理，得到

$\int_{\partial V} \vec{E}(\vec{r}) \cdot d\vec{S} + 4 \pi k \int_{\partial V} \vec{P} \cdot d\vec{S}= 4 \pi k \int_V \rho_e dV$

再次使用向量分析中的散度定理，得到

$\nabla \cdot (\vec{E}+4 \pi k\vec{P})=4 \pi k\rho_e$

，這個式子無論是記憶還是用起來都不太方便，為此利用一開始定義的

$k=\frac{1}{4\pi \varepsilon_0}$

，把這個式子改寫成看起來更加清晰的形式：

$\nabla \cdot (\varepsilon_0\vec{E}+\vec{P})=\rho_e$

上式右側已經不存在極化電荷，左側則是給定的外電場和電介質的電極化強度的函式。

定義 #FormatImgID_11# 為電介質的電位移向量。

當不存在電介質時，也就是真空條件下有

$\vec{D}=\varepsilon_0\vec{E}$

，這正是將

$\varepsilon_0$

稱為真空的絕對介電常數的原因。存在電介質時，由於

$\vec{P}$

是

$\vec{E}$

的函式，故

$\vec{D}$

也是

$\vec{E}$

的函式，對於各向同性的線性電介質，有：

$\vec{D}=\varepsilon_0\vec{E}+\vec{P}=\pmb{\varepsilon }\vec{E}=\varepsilon_0 \pmb{\varepsilon_r} \vec{E}$

這裡的

$\pmb{\varepsilon}$

稱為電介質的

絕對介電常數

，描述了電介質透過自身的極化過程影響外部電場在介質內部建立的電場的能力，也就是介電效能。

$\varepsilon_r$

是一個量綱1的量，稱為電介質的

相對介電常數

，描述的是電介質的介電效能與真空的介電效能的差異。工程上為了方便，一般都使用相對介電常數而很少提及絕對介電常數。如果電介質不是各向同性的，其絕對介電常數同樣是1個3維2階張量。如果電介質不是線性的，則還需要更高階的張量來描述其介電效能。

考慮電極化強度與電場強度的關係

$\vec{P}=\pmb{\chi}\vec{E}$

，可以利用真空的相對介電常數將其改寫為

$\vec{P}=\chi_r \varepsilon_0 \vec{E}$

，這裡的

$\chi_r$

稱為電介質的

相對電極化率

，也是一個工程上常用的概念。

有了電位移向量的概念，就可以把上式

$\nabla \cdot (\varepsilon_0\vec{E}+\vec{P})=\rho_e$

改寫成：

$\nabla \cdot \vec{D}=\rho_e$

運用上式就可以從已知或給定的自由電荷分佈計算出空間中的電位移向量分佈，繼而使用式得出無論是真空還是介質中的電場分佈。上式稱為

電介質中的靜電場高斯定理，也是經典電磁理論的核心—麥克斯韋方程組—的第一個基本方程，

其積分形式為：

$\int_{\partial V} \vec{D}(\vec{r}) \cdot d\vec{S}=\int_V \rho_e dV$

如果給定的不是自由電荷分佈，而是空間中部分割槽域的電勢分佈，採用與第1。2。8節完全相似的推導方法，可以得到：

$\nabla^2u(\vec{r})=-\frac{\rho_e}{\varepsilon_0 \varepsilon_r}$

同樣地，對於不存在自由電荷的區域，有

$\nabla^2u(\vec{r})=0$

。要注意的是這一公式只對均勻電介質適用，只有在這種情況下

$\varepsilon_r$

才是一個不隨位置改變的量而可以從向量微分運算元中提出來。對於一般的電介質，

$\pmb{\varepsilon}$

是個隨位置改變的張量，該公式為

$-\nabla \cdot (\pmb{\varepsilon} \cdot \nabla u)=\rho_e$

（如何理解張量與向量的乘積並展開該乘積的散度以化簡這一公式？感興趣的讀者可參閱：黃克智，薛明德，陸明萬．張量分析：第2版［M］．北京：清華大學出版社，2003）。

標簽：電介質電場介電常數向量極化電荷

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