普通圓環的內壁與外壁所形成的數軸可以一一對應，與之等長的莫比烏斯環壁上的數軸會與普通環的一一對應嗎？

首先，這裡不需要“長度”。

既然你對所謂圓環和莫比烏斯環的寬度沒有要求，那我就當是一個普通的圓和莫比烏斯環了。

作為一個預備知識吧，實數集是

無限集

，無限集的一個特點是，他可以構建他自己和他自己的一個

真子集

的

雙射

，也就是“

一一對應

”。

文字描述兩種比較經典的構造單位圓（因為圓的大小不重要，我總可以透過同心圓構造不同大小圓的雙射）和實數軸（直線，這部分長度也不重要，因為x和1/2x總是雙射，其餘縮放比例同理）的雙射的方法：

1。

先畫直線當實數軸，取一點，設為原點O，畫一個在O點和直線相切的單位圓。連線O和圓心，延長交圓於點A。過A和圓上任意點P作射線AP，可以和直線交於B。你可以驗證，P和B之間是雙射。

2。

和上面差不多，但是是以原點O為圓心做單位圓。

然後，選單位圓的一半，做上面類似的事，可以得到（負無窮，-1）U（1，正無窮），然後沒被選到的另一半，每個點P畫直線的垂線，交於B，顯然P到B也是雙射。把兩部分合起來，也是單位圓到直線的雙射。

圓環的內外顯然是雙射，構造法比如上面的縮放，或者同心圓。

莫比烏斯環上畫一個封閉曲線，理論上也可以雙射到單位圓。描述起來比較麻煩，不過你應該能理解。你的問題，和這個曲面是可定向（普通圓環）和不可定向（莫比烏斯環）沒關係。

這樣，你上面的幾種模型，都可以雙射到單位圓，再用上面描述的單位圓到數軸的雙射構造，就可以實現你的“一一對應”。