一文書盡離散化——連續系統離散化原理及應用

作者：由鵬飛億裡發表于繪畫時間：2021-11-27

控制器或被控物件的離散化是實現計算機控制的重要內容，被控物件常用零階保持器離散化方法，控制器常用的離散化方法包括：數值積分法（前向差分、後向差分、雙線性變換等）、輸入響應不變法（階躍、衝激響應不變法等）。本文對這些離散化方法進行比較、分析、歸納，並用例項進行說明。

1。系統描述

典型的連續時間單位反饋控制系統如圖1-1所示，其中G（s）為連續時間被控物件，D（s）為連續時間控制器，R（s）為輸入訊號，Y（s）為輸出訊號，E（s）為輸入訊號與反饋訊號間的偏差訊號，U（s）為控制器輸出的控制訊號，作用於被控物件。輸入訊號R（s）與輸出訊號Y（s）間的閉環傳遞函式用

$\Phi(s)$

表示。

離散時間控制系統如圖1-2所示，採用了週期為T的理想取樣開關和ZOH（Zero-Order Hold，零階保持器）。離散閉環傳遞函式

$\Phi(s)$

，離散化後的控制器D（z），離散化後的被控物件G（z），偏差訊號E（s）經理想取樣開關後變為E（z），E（z）經過離散控制器D（z）後，輸出U（z），輸入訊號R（z）與誤差訊號E（z）間的閉環傳遞函式用

$\Phi{e}(z)$

表示。

在實際的離散控制系統中，用A/D轉換器、D/A轉換器實現連續時間訊號和離散時間訊號間的轉換工作，其中A/D轉換器要完成取樣、量化、編碼等工作，為了簡便，一般用取樣開關代替A/D轉換器；同理D/A轉換器包括解碼、保持等工作，一般也僅用保持器代替D/A轉換器。

無論哪種設計方法，都需要離散化操作，或是針對G（s）進行離散化，或是針對D（s）進行離散化。無論離散化的物件是什麼，離散化的意義是相同的，即將連續輸入輸出訊號描述的系統，轉換成“等價的”離散輸入輸出訊號描述的離散系統。

2。保持器

保持器是一種將數字訊號轉換為連續訊號的裝置，用以解決各取樣點之間的插值問題。

在取樣時刻上，連續訊號的函式值與離散訊號的函式值是相等的

$\left\{ {\begin{array}{lllllllllllllll} {e(t){|_{t = nT}} = e(nT) = {e^ * }(nT)}\\ {e(t){|_{t = (n + 1)T}} = e((n + 1)T) = {e^ * }((n + 1)T)} \end{array}} \right.$

其中為

連續訊號，

${e^ * }(t)$

為取樣訊號。

但是

$\begin{array}{ccccccccccccccc} {e(nT + \Delta t)}&{(0 < } \end{array}\Delta t < T)$

為多大是未知的，這就是保持器要解決的問題。保持器具有外推作用，即現在時刻的輸出訊號取決於過去時刻離散訊號的外推。

$e(nT + \Delta t) = {a_0} + {a_1}\Delta t + {a_2}{(\Delta t)^2} + ... + {a_m}{(\Delta t)^m}$

式中，

$\Delta t$

是以

時刻為與原點的座標，上式表示：現在時刻的輸出

$e(nT + \Delta t)$

值，取決於

$\Delta t = 0, - T, - 2T,...., - mT$

各過去時刻的離散訊號

${e^ * }(nT),{e^ * }((n - 1)T),{e^ * }((n - 2)T),...,{e^ * }((n - m)T)$

的（m+1）個值。外推公式中（m+1）個待定係數，唯一的由過去各取樣時刻（m+1）個離散訊號值

$\begin{array}{ccccccccccccccc} {{e^ * }((n - i)T)}&{(i = 0,1,...,m)} \end{array}$

來確定，所以係數

${a_i}(i = 0,1,...,m)$

有唯一解，這樣保持器稱為m階保持器。m=0為零階保持器，m=1為一階保持器。

2。1 零階保持器

零階保持器的外推公式為

$e(nT + \Delta t) = {a_0}$

數學表示式為

$\begin{array}{ccccccccccccccc} {e(nT + \Delta t) = e(nT)}&{0 \le } \end{array}\Delta t < T$

表明ZOH是一種按常值外推的保持器，使取樣訊號

${e^ * }(t)$

變成了階梯訊號

${e_{\rm{h}}}(t)$

，如圖2-1所示。

如果把梯形訊號

${e_{\rm{h}}}(t)$

的中點連線起來，就可以得到與連續訊號

形狀一致但在時間上落後T/2的響應

。

如果給ZOH輸入一個理想單位脈衝

$\delta (t)$

，則其脈衝過渡函式是幅值為1，持續時間為T的矩形脈衝，可分解為兩個單位階躍函式之和

${g_h}(t) = 1(t) - 1(t - T)$

對

${g_h}(t)$

取拉氏變換得到

${G_h}(s) = \frac{1}{s} - \frac{{{e^{ - sT}}}}{s} = \frac{{1 - {e^{ - sT}}}}{s}$

則

${G_h}(j\omega ) = \frac{{1 - {e^{ - j\omega T}}}}{{j\omega }} = \frac{{2{e^{ - j\omega T/2}}({e^{j\omega T/2}} - {e^{ - j\omega T/2}})}}{{2j\omega }} = T\frac{{\sin (\omega T/2)}}{{(\omega T/2)}}{e^{ - j\omega T/2}}$

$\left\{ {\begin{array}{lllllllllllllll} {\left| {{G_h}(j\omega )} \right| = T\frac{{\sin (\omega T/2)}}{{(\omega T/2)}}}\\ {\angle {G_h}(j\omega ) = - \omega T/2} \end{array}} \right.$

可分析幅頻特性。

2。2 一階保持器

零階保持器的外推公式為

$e(nT + \Delta t) = {a_0} + {a_1}\Delta t$

根據兩點確定係數，可得

$\begin{array}{ccccccccccccccc} {e(nT + \Delta t) = e(nT) + \frac{{e(nT) - e((n - 1)T)}}{T}\Delta t}&{0 \le } \end{array}\Delta t < T$

由圖可知其脈衝響應

${g_h}(t){\rm{ = }}1(t) + \frac{1}{T}t(t) - 2(t - T) - \frac{2}{T}t(t - T) + 1(t - 2T) + \frac{1}{T}t(t - 2T)$

拉氏變換

$\begin{array}{c} {G_h}(s) = \frac{1}{s} + \frac{1}{{T{s^2}}} - \frac{2}{s}{e^{ - Ts}} - \frac{2}{{T{s^2}}}{e^{ - Ts}} + \frac{1}{s}{e^{ - 2Ts}} + \frac{1}{{T{s^2}}}{e^{ - 2Ts}}\\ = T(1 + Ts){\left( {\frac{{1 - {e^{ - Ts}}}}{{Ts}}} \right)^2} \end{array}$

則

$\begin{array}{c} {G_h}(j\omega ){\rm{ = }}T(1 + j\omega T){\left( {\frac{{1 - {e^{ - j\omega T}}}}{{j\omega T}}} \right)^2}\\ = T(1 + j\omega T){\left( {\frac{{{e^{j\omega T/2}} - {e^{ - j\omega T/2}}}}{{j\omega T{e^{j\omega T/2}}}}} \right)^2}\\ = T(1 + j\omega T){\left( {\frac{{2j\sin (\omega T/2)}}{{j\omega T{e^{j\omega T/2}}}}} \right)^2}\\ = T(1 + j\omega T){\left( {\frac{{\sin (\omega T/2)}}{{\omega T/2}}} \right)^2}{e^{ - j\omega T}}\\ = T\sqrt {1 + {T^2}{\omega ^2}} {\left( {\frac{{\sin (\omega T/2)}}{{\omega T/2}}} \right)^2}\angle (\arctan (\omega T) - \omega T) \end{array}$

可藉助軟體分析幅頻特性。

$\left\{ {\begin{array}{lllllllllllllll} {\frac{{{G_h}{{(j\omega )}_{FOH}}}}{{{G_h}{{(j\omega )}_{ZOH}}}} = \sqrt {1 + {T^2}{\omega ^2}} \left( {\frac{{\sin (\omega T/2)}}{{\omega T/2}}} \right)}\\ {\angle {G_h}{{(j\omega )}_{FOH}} - \angle {G_h}{{(j\omega )}_{ZOH}} = \angle (\arctan (\omega T) - \omega T/2)} \end{array}} \right.$

一階保持器與零階保持器相比：

1）一階保持器幅頻特性的幅值普遍較大，高頻分量也大；

2）一階保持器相角滯後比ZOH大，對系統的穩定不利；

3）一階保持器的結構更復雜。

因此在工程實踐中，普遍採用零階保持器。

3。數值積分法

離散依據：面積等效原理，用曲線下離散小面積之和代替連續曲線下面積。例如，求取

$\int_{(k - 1)T}^{kT} {y(t)dt}$

，可用以下三種方法。

3。1 後向差分法

用

（

）曲線下連續相接的矩形面積之和，近似原曲線下的面積，積分上限時刻所對應的

（

）高度作為近似矩形的長，取樣週期T作為近似矩形的寬，如圖3-1所示。

對於給定的

其微分方程為

，用後向差分法代替微分

$\frac{{du(t)}}{{dt}} \approx \frac{{u(k) - u(k - 1)}}{T} = e(k)$

對上式後半部分取z變換得到

$(1 - {z^{ - 1}})U(z) = TE(z)$

，則

$D(z) = \frac{{U(z)}}{{E(z)}} = \frac{T}{{1 - {z^{ - 1}}}}$

得

$s = (1 - {z^{ - 1}})/T$

即

$D(z) = D(s){|_{s = (1 - {z^{ - 1}})/T}}$

另外，將

${z^{ - 1}}$

作級數展開

${z^{ - 1}}{\rm{ = }}{e^{ - Ts}} = 1 - Ts + {T^2}{s^2}/2 - ...$

取一階近似

${z^{ - 1}} \approx 1 - Ts$

，也可得到

$s = (1 - {z^{ - 1}})/T$

。

平面的穩定域可對映到z平面。S平面穩定域為Re（s）<0，則

T為正數，將z寫成

$z = \sigma + j\omega$

，上式可以寫成

即

上式可以寫成

${\left( {{\sigma ^2} - 1/2} \right)^2} + {\omega ^2} < {(1/2)^2}$

可以看出，S平面的穩定域對映到z平面上以

$(\sigma {\rm{ = }}1/2,\omega = 0)$

為圓心，1/2為半徑的圓內。如圖3-2所示。

後向差分變換方法的主要特點如下：

1）變換計算簡單；

2）由圖3-2看出，s平面的左半平面對映到z平面的單位圓內部一個小圓內，因而，如果D（s）穩定，則變換後的D（z）也是穩定的。

3）離散濾波器的過程特性及頻率特性同原連續濾波器比較有一定的失真，需要較小的取樣週期T。

3。2 前向差分法

用

（

）曲線下連續相接的矩形面積之和，近似原曲線下的面積，積分下限時刻所對應的

（

）高度作為近似矩形的長，取樣週期T作為近似矩形的寬，如圖3-3所示。

對於給定的

，其微分方程為

，用前向差分法代替微分

$\frac{{du(t)}}{{dt}} \approx \frac{{u(k + 1) - u(k)}}{T} = e(k)$

對上式後半部分取z變換得到

，則

$D(z) = \frac{{U(z)}}{{E(z)}} = \frac{T}{{z - 1}}$

得

即

$D(z) = D(s){|_{s = (z - 1)/T}}$

另外，將z作級數展開

$z{\rm{ = }}{e^{Ts}} = 1 + Ts + {T^2}{s^2}/2 + ...$

取一階近似

$z \approx 1 + Ts$

，也可得到

使用前向差分時，有個問題就是，s平面的左半平面對映到z平面的單位圓外，因為s平面的穩定域為Re（s）<0，參考前文，可以寫出z平面的穩定域為：

T為正數，將z寫成

$z = \sigma + j\omega$

，上式可以寫成

有

$\sigma {\rm{ - }}1 < 0$

即

$\sigma < 1$

，如圖3-4所示。

前向差分法變換的特點：s平面左半平面的極點可能對映到z平面單位圓外。因而用這種方法所得到的離散濾波器可能是不穩定的，實際應用中基本上不採用這種方法。

3。3 雙線性變換法

用

（

）曲線下連續相接的梯形面積之和，近似原曲線下的面積，梯形的上底長用積分下限時刻所對應的值

（

）代替，梯形的下底長用積分上限時刻所對應的值

（

）代替，取樣週期T作為近似矩形的寬，如圖3-5所示。

雙線性變換法又稱為突斯汀（Tustin）法，是一種基於梯形積分規則的數字積分變換方法。

$z = {e^{Ts}}$

，將

${e^{Ts}}$

改寫為

${e^{Ts}} = {e^{Ts/2}}/{e^{ - Ts/2}}$

然後將分子分母同時展開成泰勒級數，取前兩項，得：

由上式計算出s，得到雙線性變換公式

$s = \frac{2}{T}\frac{{1 - {z^{ - 1}}}}{{1 + {z^{ - 1}}}}$

由圖3-5所示的梯形面積近似積分可得

$y(kT) = y[(k - 1)T] + \frac{T}{2}[x[(k - 1)T] + x(kT)]$

其中y（kT）為到kT時刻的陰影總面積，對上式進行z變換，並整理得到

$\frac{{Y(z)}}{{X(z)}} = \frac{T}{2}\frac{{1 + {z^{ - 1}}}}{{1 - {z^{ - 1}}}}$

可得到雙線性變化：

$D(z) = D(s){|_{s = \frac{2}{T}\frac{{1 - {z^{ - 1}}}}{{1 + {z^{ - 1}}}}}}$

還可以將式

$s = \frac{2}{T}\frac{{1 - {z^{ - 1}}}}{{1 + {z^{ - 1}}}}$

看做採用雙線性變換時s平面到z平面的對映。值得注意的是，雙線性變換使得D（z）的極、零點數目相同，且離散濾波器的階數（即離散濾波器的極點數）與原連續濾波器的階數相同。s平面的左半平面對映到z平面時，其關係如下：

T>0，上面的不等式可簡化為

即

${\sigma ^2} + {\omega ^2} < 1$

這相應於z平面單位圓內部，如圖3-6所示。因此，雙線性變換將s平面上整個左半平面對映到z平面上以原點為圓心的單位圓內部（這是z平面上的穩定區）。這與

$z = {e^{Ts}}$

對映是一樣的，但是離散濾波器的過渡相應及頻率響應特性有顯著的不同。

雙線性變換的主要特點是：

1）如果D（s）穩定，則響應的D（z）也穩定；D（s）不穩定，則響應的D（z）也不穩定。

所得D（z）的頻率響應在低頻段與D（z）的頻率響應相近，而在高頻段相對於D（s）的頻率響應有嚴重畸變。

4。輸入響應不變法

輸入響應不變法根據輸入訊號的不同可分為脈衝響應不變法和階躍響應不變法。

4。1 脈衝響應不變法/z變換法

所謂脈衝響應不變法，就是將連續濾波器D（s）離散得到離散濾波器D（z）後，它的脈衝響應

${g_D}(kT) = {Z^{ - 1}}[D(z)]$

與連續濾波器的脈衝響應

$g(t) = {L^{ - 1}}[D(s)]$

在各取樣時刻的值是相等的。即

${g_D}(kT){\rm{ = }}g(t){|_{t = kT}}$

。

例如，要對D（s）進行離散化，D（s）輸入衝擊訊號r（t），輸出訊號為g（t）；離散化後為D（z），令其輸入訊號為r（t）的週期取樣，即r（kT），則離散化後的要求為：使離散化後D（z）的輸出訊號為

，即離散化後系統的輸出與對應連續系統輸出在取樣時刻上的值相等。

因此，脈衝響應不變保持了脈衝響應的形狀

因為，上面給出的連續濾波器D（s），採用脈衝響應不變法所得到的離散濾波器D（z）即為D（s）的z變換。所以，脈衝響應不變法也稱z變換法。

Z變換法的特點是：

1） D（z）和D（s）有相同的單位脈衝響應序列；

2）若D（s）穩定，則D（z）也穩定；

3） D（z）存在著頻率失真；

4）該方法特別適用於頻率特性為銳截止型的連續濾波器的離散化。

脈衝響應不變法主要應用於連續控制器D（s）具有部分分式結構或能較容易地分解為並聯結構，以及D（s）具有陡衰減特性，且為有限頻寬的場合。這時取樣頻率足夠高，可減少頻率混疊影響，從而保證D（z）的頻率特性接近原連續控制器D（s）。

4。2 階躍響應不變法

階躍響應不變法就是將連續濾波器D（s）離散後得到的離散濾波器D（z），保證其階躍響應與連續濾波器的階躍響應在各取樣時刻的值是相等的。

用階躍響應不變法離散化後得到的離散濾波器D（z），則有

${Z^{ - 1}}[D(z)\frac{1}{{1 - {z^{ - 1}}}}] = {L^{ - 1}}[D(s)\frac{1}{s}]{|_{t = kT}}$

式中，

${Z^{ - 1}}[D(z)\frac{1}{{1 - {z^{ - 1}}}}]$

表示D（z）的階躍響應，而

${L^{ - 1}}[D(s)\frac{1}{s}]$

表示D（s）的階躍響應。取上式的z變換，得到

$[D(z)\frac{1}{{1 - {z^{ - 1}}}}]{\rm{ = }}Z\{ {L^{ - 1}}[D(s)\frac{1}{s}]{\rm{\} = Z[}}\frac{{D(s)}}{s}{\rm{]}}$

即

$D(z){\rm{ = (}}1 - {z^{ - 1}}){\rm{Z[}}\frac{{D(s)}}{s}{\rm{]}}$

即

$D(z){\rm{ = Z[}}\frac{{1 - {e^{ - Ts}}}}{s}D(s){\rm{]}}$

這個方程的右邊可以看做D（s）前面加了一個取樣器和零階保持器。因而，可以假設一個連續訊號和一個假想的取樣—保持裝置，如圖3-7所示。

這裡的取樣保持器是一個虛擬的數字模型，而不是實際硬體。由於這種方法加入了ZOH，對變換所得到的離散濾波器也會帶來相移，當取樣頻率較低時，應進行補償。ZOH的加入，雖然保持了階躍響應和穩態增益不變的特性，但未從根本上改變Z變換的性質。

階躍響應不變法的特點如下：

1）若D（s）穩定，則響應的D（z）也穩定；

D（z）和D（s）的階躍響應序列相同。

5。零、極點匹配法

零、極點匹配Z變換法，就是按照一定的規則把G（s）的零點對映到離散濾波器D（z）的零點，把G（s）的極點對映到D（z）的極點。極點的變換同Z變換相同，零點的變換添加了新的規則。設連續傳遞函式G（s）的分母和分子分別為n階和m階（m≤n），稱G（s）有m個有限零點，（n-m）個s=∞的無限零點，如：

$G(s) = \frac{{s + {z_1}}}{{(s + {p_1})(s + {p_2})(s + {p_3})}}$

其有限零點為

$s = - {z_1}$

，還有兩個s=∞的無限值零點。

零極點匹配Z變換的規則是：

1） G（s）所有的極點和所有的有限值零點均按照

$z = {e^{sT}}$

變換，

$\left\{ {\begin{array}{lllllllllllllll} {s + a \Rightarrow z - {e^{ - aT}}}\\ {(s + a \pm jb) \Rightarrow z - {e^{ - (a \pm jb)T}}}\\ {{{(s + a)}^2} + {b^2} \Rightarrow {z^2} - 2z{e^{ - aT}}\cos (bT) + {e^{ - 2aT}}}\\ \vdots \end{array}} \right.$

2） G（s）所有的在s=∞處的零點變換成在z=-1處的零點。

3）如需要D（z）的脈衝響應具有一單位延遲，則D（z）分子的零點數應比分母的極點數少1。

4）要保證變換前後的增益不變，還需進行增益匹配。

低頻增益匹配：

高頻增益匹配：

實際系統中，G（s）的分母階數常常比分子階數高，如不採用規則（2），那麼D（z）的脈衝響應會產生n-m個取樣時間的延遲，對系統造成不利影響，引入規則（2）後，D（z）的分母和分子的階數就相同了。

6。 D（s）=a/（s+a）的各種離散化

在此直接給出結果，感興趣的知乎er自行推導吧。

6。1反向差分法

$D(z) = \frac{a}{{(1 - {z^{ - 1}})/T + a}}$

6。2前向差分法

$D(z) = \frac{a}{{(z - 1)/T + a}}$

6。3 雙線性變換法

$D(z) = \frac{a}{{\frac{2}{T}\frac{{1 - {z^{ - 1}}}}{{1 + {z^{ - 1}}}} + a}}$

6。4脈衝響應不變法

$D(z) = a*Z[1/(s + a)]{\rm{ = }}a*Z[{e^{ - at}}] = \frac{{az}}{{z - {e^{ - aT}}}}$

6。5階躍響應不變法

$D(z){\rm{ = (}}1 - {z^{ - 1}}){\rm{Z[}}\frac{{D(s)}}{s}{\rm{] = }}\frac{{1 - {e^{ - aT}}}}{{z - {e^{ - aT}}}}$

6。6零極點匹配法

$\left\{ {\begin{array}{lllllllllllllll} {D(z) = K\frac{1}{{z - {e^{ - aT}}}}}\\ {K = 1 - {e^{ - aT}}} \end{array}} \right. \Rightarrow D(z) = \frac{{1 - {e^{ - aT}}}}{{z - {e^{ - aT}}}}$

以上給出了六種已知連續濾波器求等效離散濾波器的方法，其中前向差分法會產生不穩定離散濾波器，實際上基本不用。其他方法都能得出比較滿意的結果。

7。附錄

7。1 z變換

在前文中，經常用到z變換。

設連續函式e（t），則拉氏變換

$E(s) = \int_0^\infty {e(t){e^{ - st}}dt}$

由

$\begin{array}{ccccccccccccccc} {e(t){\rm{ = }}0}&{t < 0} \end{array}$

，得到

$E(s) = \int_{ - \infty }^\infty {e(t){e^{ - st}}dt}$

拉氏變換

$\begin{array}{c} {E^ * }(s) = \int_{ - \infty }^\infty {{e^ * }(t){e^{ - st}}dt} \\ {\rm{ = }}\int_{ - \infty }^\infty {[\sum\limits_{n = 0}^\infty {e(nT)\delta (t - nT)} ]{e^{ - st}}dt} \\ = \sum\limits_{n = 0}^\infty {e(nT)} \int_{ - \infty }^\infty {\delta (t - nT){e^{ - st}}dt} \end{array}$

由廣義脈衝函式篩選性質

$\int_{ - \infty }^\infty {\delta (t - nT)f(t)dt} = f(nT) \Rightarrow \int_{ - \infty }^\infty {\delta (t - nT){e^{ - st}}dt} {\rm{ = }}{e^{ - snT}}$

令

$z = {e^{ - sT}}$

，T為取樣週期，z為複平面上定義的一個復變數，通常稱為z變換運算元，得

$\begin{array}{c} E(z) = {E^ * }(z){|_{s = \frac{1}{T}\ln z}} = \sum\limits_{n = 0}^\infty {e(nT){z^{ - n}}} \\ {\rm{ = }}e(0) + e(T){z^{ - 1}} + e(2T){z^{ - 2}} + ... + e(nT){z^{ - n}} + ... \end{array}$

Z變換僅是一種在取樣拉氏變換中，取

$z = {e^{ - sT}}$

的變數置換，透過這種置換，可將s的超越轉換為z的冪級數或z的有理分式。

關於z變換的求解一般用級數求和法和部分分式法，在6。4和6。5中已經有所提及，常用的z變換在用到時查表即可。

7。2 離散化的應用

目前，大多是的模擬軟體都可以支援設計連續的控制器，軟體會自行進行離散化模擬。連續系統的離散化，主要用於程式設計實現時使用。

對於z變換，

${z^{ - n}}x(k) = x(k - n)$

。

在第6節中，可以得到各種離散化方法下的離散公式。首先需要將公式的分子分母部分按照z的冪級數由高到低的次序排列。如下式

$D(z) = \frac{{U(z)}}{{E(z)}} = \frac{{{a_m}{z^m} + {a_{m - 1}}{z^{m - 1}} + ... + {a_1}{z^1} + {a_0}}}{{{b_n}{z^n} + {b_{n - 1}}{z^{n - 1}} + ... + {b_1}{z^1} + {b_0}}}$

其中n≥m。

將分式轉換

$U(z)({b_n}{z^n} + {b_{n - 1}}{z^{n - 1}} + ... + {b_1}{z^1} + {b_0}) = E(z)({a_m}{z^m} + {a_{m - 1}}{z^{m - 1}} + ... + {a_1}{z^1} + {a_0})$

兩邊同時除以

${z^n}$

$\begin{array}{l} U(z)({b_n} + {b_{n - 1}}{z^{ - 1}} + ... + {b_1}{z^{1 - n}} + {b_0}{z^{ - n}})\\ = E(z)({a_m}{z^{m - n}} + {a_{m - 1}}{z^{m - 1 - n}} + ... + {a_1}{z^{1 - n}} + {a_0}{z^{ - n}}) \end{array}$

令

。得到

$\begin{array}{l} {b_n}U(k) + {b_{n - 1}}U(k - 1) + ... + {b_1}U(k - n + 1) + {b_0}U(k - n)\\ = {a_m}E(k + m - n) + {a_{m - 1}}E(k + m - n - 1) + ... + {a_1}E(k + 1 - n) + {a_0}E(k - n) \end{array}$

可得k時刻U（k）的值

$\begin{array}{c} U(k){\rm{ = }}\frac{1}{{{b_n}}}( - {b_{n - 1}}U(k - 1) - ... - {b_1}U(k - n + 1) - {b_0}U(k - n) + \\ {a_m}E(k + m - n) + {a_{m - 1}}E(k + m - n - 1) + ... + {a_1}E(k + 1 - n) + {a_0}E(k - n)) \end{array}$