一道拋物線雙切線問題

作者：由隨隨便便取個名發表于繪畫時間：2022-03-28

2021年全國乙卷考了道拋物線壓軸，計算量已經算是很小了。。。只要能想到方法，做出來真的很容易。

下面看這道類似題，只不過拋物線放正了：

已知面積為 #FormatImgID_1# 的等邊 #FormatImgID_2# 的三個頂點都在拋物線E: #FormatImgID_3# 上，過點p（-p，2）作拋物線E的兩條切線分別交y軸與M,N兩點.

(1)求p

（2）求 #FormatImgID_4# 的外接圓方程

（1）p=1

（2）

$y^2=2x\Rightarrow A(x_{1},y_{1}) B(x_{2},y_{2})$

為兩切點，對拋物線上下兩端分別求導獲取兩條切線：

$y=\sqrt{\frac{1}{2x_{1}}}x+\sqrt{\frac{x_{1}}{2}}$

$y=\sqrt{\frac{1}{2x_{2}}}x+\sqrt{\frac{x_{2}}{2}}$

透過兩切線交點p（-1，2）為定點獲取未知數關係

$x_{1}x_{2}=1$

$\sqrt{x_{1}}-\sqrt{x_{2}}=2\sqrt{2}$

$M(0,y_{1}) N(0,y_{2})$

由於兩點都在y軸上，則透過上述關係求得圓心縱座標為1

最後透過p到三角形兩端點距離相等解得圓心橫座標為

$-\frac{1}{4}$

，半徑為

$\frac{5}{4}$

所以答案為

$（x+\frac{1}{4}）^{2}+（y-1）^{2}=\frac{25}{16}$

標簽：拋物線 FormatImgID 切線圓心兩端

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