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數學中的群、域、環三者的嚴格數學定義是什麼？

作者：由我好菜啊發表于繪畫時間：2021-03-13

在集合

上定義一個二元運算

$+:(A\times A)\to A$

，把它稱為加法。現在有一下這些法則：

1）結合律：對於任意

$a,b,c\in A$

有

2）存在單位元

使得

滿足1）2）的

被稱為么半群（monoid）

3）對於每一個

$a\in A$

存在逆元

滿足

滿足1）2）3）的

被稱為群（group）

4）加法可交換：對於任意

$a,b\in A$

，

滿足1）——4）的被稱為交換群（阿貝爾群）（abelian group）

再在

上定義一個二元運算

$\times:(A\times A)\to A$

，把它稱為乘法。考慮下面這些法則：

5）結合律：對於任意

$a,b,c\in A$

，

$a\times(b\times c)=(a\times b)\times c$

6）存在單位元

使得對於任意

$a\in A$

，

$a\times 1=1\times a=a$

7）左右分配律：對於任意

$a,b,c\in A$

，

$a\times(b+c)=a\times b+a\times c$

，

$(a+b)\times c=a\times c+b\times c$

滿足1）——7）的

被稱為環（ring）

8）乘法可交換：對於任意

$a,b\in A$

，

$a\times b=b\times a$

滿足1）——8）的

被稱為交換環（commutative group）

9）對於每一個

$a\in A, a\ne 0$

存在逆元

使得

$a\times b=b\times a=1$

滿足1）——9）的

被稱為域（field）

對於一個環

的子集

，如果

滿足以下兩個條件：

i）

是加群

的子群

ii）

吸收乘法：對於任意

$r\in I, a\in R$

，

$r\times a\in I, a\times r\in I$

那麼

被稱作一個理想（ideal）

對於一個交換環

，如果滿足以下條件：

對於任意

$a,b,c\in R$

，如果

$ab=ac, a\ne 0$

，那麼

就被稱作一個整環（integral domain）

對於一個阿貝爾群

和一個域

$\mathbb{F}$

，定義標量乘法

$\mathbb{F}\times V\to V$

。如果它還滿足以下條件：

a）對於任意

$x\in V, 1x=x$

（

是域

$\mathbb{F}$

的乘法單位元）

b）對於任意

$a,b\in \mathbb{F}, x\in V, (ab)x=a(bx)$

c）對於任意

$a\in \mathbb{F}, x,y\in V, a(x+y)=ax+ay$

d）對於任意

$a,b\in \mathbb{F}, x\in V, (a+b)x=ax+bx$

那麼

就被稱作一個在

$\mathbb{F}$

上的向量空間（vector space）

標簽：任意對於滿足乘法稱為

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