如何證明內心、外心分別是三角形的內接圓、外接圓的圓心？ - 小燦同學 的回答 - 知乎
小燦同學.css-1cd9gw4{margin-left:.3em;}2022-01-31 03:43:40題主問題有點小小的瑕疵，應該加“的圓心”，下面來回答這個問題。
首先需要清楚三角形內心和外心的定義，三角形內心是三角形三個內角的角平分線的交點，可以證明三條角平分線有共同點交點，這個證明的思路是這樣的，用到三角形角平分線的性質（三角形角平分線上的點到角兩邊的距離相等），我們可以作兩條角平分線，將這兩條角平分線的交點和第三個角的頂點連線，證明這條連線是第三個角的角平分線即可，因為歐式幾何的公理告訴我們過兩點有且只有一條直線，所以就證明了三角形三條內角平分線交於一點，我們將這個點定義為三角形的內心。這裡我們可以從定義發現三角形的內心同時落在三條內角平分線上，所以用角平分線的性質（上面提到過的的），內心到三條邊的距離都相等，所以以內心為圓心以這個距離為半徑可以作一個三角形的內接圓。
而外心定義為三角形三條邊上的中垂線（垂直於邊且過該邊中點直線）的交點。同樣我們需要先說明三條邊的中垂線交於一點，想法和內心的想法一樣，先作兩個邊的中垂線，作一條過其交點和第三邊中點的直線，我們需要證明這條直線是第三邊的中垂線，這個不難證明，由中垂線的性質（中垂線上的點到線段兩端點的距離相等）以及這裡的交點在兩條中垂線上知這個交點到三個頂點的距離相等，再由中垂線的判別定理知我們作的這條直線是第三邊的中垂線，到這裡我們證明了三條中垂線交於一點，也就說明外心的定義是良定的。我們還是從定義出發，由於三角形外心同時落在三條邊的中垂線上，有中垂線的性質有這個點到三個頂點的距離相等，所以以三角形外心為圓心以到頂點的距離為半徑可以作一個圓，而這個圓就是三角形的外接圓。
上面回答了題主的問題，下面做一點點延伸，三角形的垂心是三角形三條高的交點，三條高交於一點證明想法類似；三角形的重心是三角形三條中線的交點，同樣證明三條中線交於一點的想法類似。在等邊三角形中，三角形四心合一（這四個心是同一個點）。
