您當前的位置：首頁 > 歷史

NGB集合論公理系統簡介

作者：由 不語與不眠之前 發表于 歷史時間：2020-03-30

一直以來我都沒有在網上見到真正嚴格的介紹NGB

集合論

公理系統的東西，也許是因為這壓根不重要，但誰讓我今天突然來了興致呢？

由於我也只是一個初學者，對於NGB我也是一知半解，因此只是做一個簡單的介紹，有錯誤還請見諒、指正。

不過我突然發現一個問題，那就是這個

公理系統

到底叫做NGB還是NBG？我發現這兩個都有叫的，導致我自己也混了，本文根據書上所寫採取NGB的說法，不過貌似是NBG更常用？至少我在網上見到的更都是NBG

首先呢，不同於ZFC，在ZFC內，我們只能談論集合，一旦談論類，實際上就是在用一些公式的縮寫表示類，ZFC的論域是全體集合，在ZFC上談論類顯得略有麻煩，但NGB不同，NGB的論域是全體類，能夠談論一些大的東西。

實際上NGB和ZFC十分的相似，因此對於學過ZFC的人來說，瞭解NGB是不必要的，不過相對而言也是較為輕鬆的明白NGB大概是個什麼東西。

ZFC和NGB還有一個顯著差異就在於ZFC的公理數目是無窮個，這是由於替換公理模式造成的，替換公理模式本身就是無窮個公理構成，但NGB不同，NGB是有窮的公理構成的公理系統，在NGB之中，替換公理由公理模式變成了一條公理。

但相對於人的認知而言，NGB的

公理數目

實際上比ZFC要多。

下面開始正式的介紹NGB，不過請注意，我的解釋也許是錯誤的。

在NGB之中有一個一元謂詞和一個二元謂詞，分別是集合謂詞

\Re

與屬於謂詞

∈

。按照習慣，我們將

∈(A,B)

寫作

A∈B

，將

¬A∈B

寫作

A∉B

。若一個類屬於另一個類，則稱前者是後者的元素。

我們會用列舉的方式表示類，如若某個類

X

有三個元素

a,b,c

，那麼我們會記作

\{a,b,c\}

以下介紹的公理，我都取了名字，有些是依照傳統，有些則是我隨便起的，不要在意哈。

外延公理

：

∀X∀Y∀a((a∈X\leftrightarrow a∈Y)→X=Y)

和ZFC一樣，NGB也有外延公理，只不過處理的物件從全體集合變成了全體類。

集合公理

：

∀X∀x(x∈X→\Re(x))

這條集合公理是使得我們能夠處理類的關鍵，簡單的說就是對於任意的兩個類，若一個屬於另一個，則前者是集合。

真類

：對於任意的類

X

，若

¬\Re(X)

，即

X

不是集合，那麼我們稱

X

是真類。

根據集合公理我們可以知道，真類不是任何類的元素，沒有一個東西包含了一個真類。

當然，任意的集合都是類，因為一個物件是類，在NGB之中的表述實際上是

X=X

全體集合

：

\mathbf{V}=\{x|\Re(x)\}

在NGB之中全體集合構成的類是這樣定義的，但在ZFC之中

\mathbf{V}=\{x|x=x\}

從這裡，我們能看出ZFC與NGB的一些不同。

不過呢，現在我們還不能說明全體集合是一個類，我們還不能證明其存在性。

空集

：對於任意的類

X

，稱

X

為空集，記作

X=\mathbb ∅

，當且僅當

∀x(x∉X)

下面為了方便，我們不再使用集合謂詞，而是做這樣的一個方便的處理：如果我們用大寫字母，則說明其指稱是一個類，如果我們用小寫字母，則其指稱一個集合，也就是說，如果看到我用一個小寫字母時，實際上略寫了集合謂詞

\Re

不過有時候也並未曾略寫，例如後面的類交公理實際上就沒有略寫任何東西，但實際上我們很容易證明其中小寫字母表示的物件是一個集合，而非一個真類。

配對公理

：

∀x∀y∃z∀u(u∈z\leftrightarrow z=x∨z=y)

注意，配對公理這裡的表述涉及的都是集合，正如我們熟知的，配對公理可以使得我們能夠定義有序對的概念，這個概念在隨後非常重要。

有序對

：對於任意的集合

a,b

，定義它們的有序對為

(a,b)=\{\{a\},\{a,b\}\}

顯然，我們沒有類的有序對，這是集合公理所限制的，正如我們所熟知的，配對公理保證瞭如果有集合，那麼有集合的有序對。

在NGB之中，我們還要定義有序三元組的概念，現在我們還沒有

自然數

的概念，那就更別提遞迴定理了，於是我們只能僅僅對有序三元組做出定義，更進一步的暫且不去管他。

有序三元組

：對於任意的集合

a,b,c

，定義它們的有序三元組為

(a,b,c)=((a,b),c)

展開來說就是

(a,b,c)=\{\{\{\{a\},\{a,b\}\}\},\{\{\{a\},\{a,b\}\},c\}\}

我們定義了一些概念之後，在新的公理表述之中，很多時候會直接用已經定義好的形式。

外延、集合、配對合稱NGB的第一組公理，下面我們介紹第二組公理。

首先我們給出一個存在性公理

類屬公理

：

∃X∀x∀y((x,y)∈X\leftrightarrow x∈y)

類屬公理說的是：存在一個類，對於任意的兩個有屬於關係的集合，那麼他們的有序對都是這個類的元素。

那麼我們就可以將此類記作

E=\{(x,y)|x∈y\}

容易看出，這是一個真類。根據外延公理，我們可以知道這是唯一的類。

不過這一公理到底是幹什麼的我就不太清楚了……實際上第二組公理之中的許多我都很迷惑到底是幹什麼用的……

類交公理

：

∀X∀Y∃Z∀u(u∈Z\leftrightarrow u∈X∧u∈Y)

根據類交公理，我們很容易定義出類的交

類的交

：對於任意的兩個類

X,Y

，定義它們的交

X∩Y

，其元素恰好是

X,Y

共有的全體集合。

類補公理

：

∀X∃Y∀x(x∈Y\leftrightarrow x∉X)

類補公理說的是，對於任意的類

X

，存在一個類

Y=\mathbf{V}-X

當然實際上現在還不能這樣說，我們還需要一些概念才能這樣做，但現在是為了方便理解嘛。

運用類補公理與類交公理，我們能夠定義出類的差。

類差存在定理

：

∀X∀Y∃Z∀a(a∈Z\leftrightarrow a∈X∧a∉Y)

證明：

根據類補公理，我們得到一個類，其元素是全體不屬於

Y

的集合構成的，然後我們用這個類與

X

求交，得到的類即

X

與

Y

的差。

類的差

：對於任意的兩個類

X,Y

，定義它們的差

X-Y

為

∀a(a∈X-Y\leftrightarrow a∈X∧a∉Y)

。

類積公理

：

∀X∃Y∀x∀y(x∈X\leftrightarrow (x,y)∈Y)

類積公理說的是：對於任意的類

X

，存在一個類

X×\mathbf{V}

當然，這個表述目前來說也是不行的，因為我們還沒有定義

笛卡爾積

。

類積公理應該可以保證我們可以使用關乎類的函式、關係

類逆公理

：

∀X∃Y∀x∀y((x,y)∈X\leftrightarrow (y,x)∈Y)

其實從這個公理可以看出NGB是如何把ZFC的無窮個公理變成有窮的了。

也就是說NGB把ZFC中的那些性質，都代以一個類關係進行處理，這個類關係，即關係可以是一個真類，而不僅僅侷限於集合，雖然我們看這裡的類關係都是直接以一個類來言說的，但實際上發揮作用的僅僅只是其中作為類關係的子類。

這個公理並不能保證唯一性，我們可以想象這樣的一個類

X=\{x,(a,b)\}

，那麼根據這個公理，我們可以得到的類實際上有許多， 只不過都必然的

(b,a)∈Y∧(a,b)∉Y

。

定義域公理

：

∀X∃Y∀x(x∈Y\leftrightarrow ∃y((x,y)∈X))

定義域公理說的是：任意類上的關係

X

，其定義域

Y

還是類

定義域公理與類逆公理結合，可以得到

值域定理

，即任何類上的關係，其值域都存在

第一變換公理

：

∀X∃Y∀x∀y∀z((x,y,z)∈X\leftrightarrow (z,x,y)∈Y)

第一變換公理說的是：對於任意的有三元組作為元素的類，存在類，其中的三元組恰好是之前那個類中三元組把最後的分量變成第一個分量構成的。

第二變換公理

：

∀X∃Y∀x∀y∀z((x,y,z)∈X\leftrightarrow (x,z,y)∈Y)

解釋類似第一變換公理

對於這兩個變換公理，我實際上有些疑惑，能不能用類逆公理，交換x，z的位置使得我們只需要一個變換公理就可以了？

如果不可以，那麼對於

(y,x,z)

的形式該怎麼辦？

最重要的是：我目前不能理解這些公理特麼有什麼用？

像ZFC的公理，我都大致清楚它們的作用，並且知道它們存在的必要性，但我目前不能理解NGB中的某些公理的必要性。

不過書上說的是第二組公理保證了NGB的有窮性，雖然明白是什麼意思，但由於書上的許多細節我還木有看懂，於是困惑就是必然的了……

以上是第二組公理，下面介紹第三組公理，第三組公理顯得親切的多，它們都是我們在ZFC之中已經熟知的公理

子類

：對於任意的類

X

，稱

Y

是

X

子類，記作

Y⊆X

，當且僅當

∀y(y∈Y→y∈X)

。

冪集公理

：

∀x∃y∀z(z∈y\leftrightarrow∀u(u∈z→u∈x))

對於任意集合存在一個集合，其元素是原集合的全體子類。

冪集

：對於任意的集合

x

，我們定義它的冪集為

P(x)=\{y|y⊆x\}

。

當然，我們不能定義類的冪集，這與集合公理是矛盾的。

並集公理

：

∀a∃b∀x(x∈b\leftrightarrow∃y(x∈y∧y∈a))

根據並集公理與配對公理，我們容易定義兩集合的並，與集合的並集

並集

：對於任意集合

x

，定義它的並集為

\bigcup x=\{y|∃a(y∈a∧a∈x)\}

集合的並

：對於任意集合

x,y

，定義它們的併為

x∪y=\{z|z∈x∨z∈y\}

替換公理：

∀X(∀x∀y_1∀y_2((x,y_1)∈X∧(x,y_2)∈X→y_1=y_2)→∀a∃b∀y(y∈b\leftrightarrow∃z(z∈a∧(z,y)∈X)))

和ZFC的替換公理模式一樣，只不過這是一條公理，而

公理模式

則是無窮的公理綜合而成的

替換公理說的是：對於任意的類關係

X

，若滿足對於任意的集合

x

對應了至多唯一的

y

，則對於任意的集合

a

都存在一個集合

b

，其元素

y

恰好是有

a

中元素作為第一分量，

y

作為第二分量的有序對是類關係

X

的元素。

其實我懷疑上面的

a,b

能夠寫成

A,B

，即這或許可以是一個類上的替換公理，但我不敢亂整啊……

其實書上寫替換公理的是

∀X(∀x∃!y((x,y)∈X→∀x∃y∀z(z∈y\leftrightarrow ∃u(u∈x∧(u,z)∈X))))

但我感覺這有點問題，因此按照我自己的理解寫了如上的形式。

無窮公理

：

∃a(\mathbb∅∈a∧∀x(x∈a→x∪\left\{ x \right\}∈a))

簡單的說，無窮公理就是說存在一個無窮集合

以上是第三組公理，而第四第五組公理都只有一條，分別是正則與選擇。

正則公理

：

∀X(X≠\mathbb∅→∃x(x∈X∧x∩X=\mathbb∅))

以上四組公理，我們合稱

\mathbf{GB}

公理系統，再加上第五組的選擇公理，就是我們要的

\mathbf{NGB}

公理系統了，可知

\mathbf{GB}

是

\mathbf{ZF}

的擴充

對此我們有一個定理來保證這一事實：

定理

：對於

\mathbf{ZF}

的任意命題

T

，

\mathbf{ZF}⊢T

當且僅當

\mathbf{GB}⊢T

至於證明，嘿嘿……嘿……我不會啊……雖然可以抄書，但倫家懶了……

選擇公理

：

∃X(∀x∃!y((x,y)∈X∧∀x(x≠\mathbb ∅→∃y(y∈x∧(x,y)∈X)))

書上說這個選擇公理實際上比我們通常使用的選擇公理要強一點，它說存在於一個類，這個類可以看做是一個函式，對於任意的非空集合內都存在一個元素作為第二分量與非空集合構成一個有序對是這個類的元素。

以上五組公理，我們合稱

\mathbf{NGB}

公理系統，易見

\mathbf{NGB}

是

\mathbf{ZFC}

的擴充

實際上本文所寫許多我也沒有搞懂，但我就是想來做一個介紹（逃

突然想到集合公理或許完全是可以去掉的，考慮這樣的定義：

\Re(x)\leftrightarrow ∃X(x∈X)

如果將這個定義當做公理，那麼是可以證明我們上面說的那個集合公理的，甚至這二者是可以互推的。

數學真奇妙啊……

有人問參考書目：《公理集合論導引》

張錦文

標簽： 公理  集合  NGB  zfc  任意 

上一篇:北宋與遼的戰爭

下一篇：如果劉道規沒有早逝，而是在劉裕死後繼承劉裕遺志劉宋能不能統一南北朝？

猜你喜歡