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茆詩松老師《機率論與數理統計教程》（第二版）部分內容糾錯

作者：由 i44一一 發表于 歷史時間：2021-04-01

茆詩松老師《機率論與數理統計教程》（第二版）部分內容糾錯

習題與解答糾錯

（一）。本次先整理了一些常見的錯誤比較多的地方，如果同學們發現還有其他的錯誤，可以私信我（微信公眾號：i44統計考研）補充。

（二）。目前，我發現網上已經開始賣茆詩松老師《機率論與數理統計教程習題與解答》（第三版），建議同學們買最新版的，錯誤相對少一點。

（三）。下為一些糾錯後的的習題與解答。

習題2。1 第10題 試求

P(x_{1}\le X\le x_{2} )

。

習題2。2 第10題 解： 設

X

表示保險公司的收益，

X

的全部可能取值為

k a, k a-a,

則

E(X)=(1-p) \times k a+p \times(k a-a)=(k-p) a=0.1 a,

故

k=p+0.1

。

習題2。4 第17題

E（

X^{3}

） =

\lambda E[(X+1)^{2}]

=

\lambda E(X^{2})+2 \lambda E(X)+\lambda

=

\lambda^{2} E(X+1)+2 \lambda E(X)+\lambda

=

\lambda^{2}(\lambda+1)+2 \lambda^{2}+\lambda=\lambda^{3}+3 \lambda^{2}+\lambda

習題3。3第15題 ：求極座標

R=\sqrt{X^{2}+Y^{2}}, \frac{Y}{X} =tan\theta

的聯合密度函式。

習題3。4第9題 試證：E（｜X-Y｜）=

\frac{(m-1)(m+1)}{3 m}

。

習題5。3第5題 證明：

\bar{x}=\frac{n \bar{x}_{1}+m \bar{x}_{2}}{n+m}, s^{2}=\frac{(n-1) s_{1}^{2}+(m-1) s_{2}^{2}}{n+m-1}+\frac{nm\left(\bar{x}_{1}-\bar{x}_{2}\right)^{2}}{(n+m)(n+m-1)}

。

習題5。3第31題 試證明

(n-i+1)\frac{2}{\sigma}\left(X_{(i)}-X_{(i-1)}\right)

服從自由度為2的

\chi ^{2}

分佈（i=2，。。。，n）。

證 ：

\quad

令

y_{i}=\frac{x_{i}-\mu}{\sigma} \sim \operatorname{Exp}(1),

則

y_{(1)}, \cdots, y_{(n)}

的聯合密度為

p\left(y_{1}, \cdots, y_{n}\right)=n ! \exp \left\{-\sum_{i=1}^{n} y_{i}\right\} \\

作變換

\left\{\begin{array}{l} t_{1}=n y_{(1)}, \\ t_{2}=(n-1)\left(y_{(2)}-y_{(1)}\right), \\ \quad \vdots \\ t_{i}=(n-i+1)\left(y_{(i)}-y_{(i-1)}\right), \\ \quad \vdots \\ t_{n}=y_{(n)}-y_{(n-1)}, \end{array}\right. \\

其雅可比（ Jacobi） 行列式為

|J|=\frac{1}{n !}, t_{1}, \cdots, t_{n}

的聯合密度為

f\left(t_{1}, \cdots, t_{n}\right)=

\exp \left\{-\sum_{i=1}^{n} t_{i}\right\} \cdot

由該聯合密度我們可以知道

T_{1}, \cdots, T_{n}

是獨立同分布的隨機變數， 且

\boldsymbol{T}_{i} \sim \operatorname{Exp}(1),

從而

\begin{aligned} P\left((n-i+1) \frac{2}{\sigma}\left(x_{(i)}-x_{(i-1)}\right) \leqslant x\right) &=P\left(2(n-i+1)\left(y_{(i)}-y_{(i-1)}\right) \leqslant x\right) \\ &=P\left(2 T_{i} \leqslant x\right)=P\left(T_{i} \leqslant x / 2\right)=1-\mathrm{e}^{-x / 2} \end{aligned} \\

這是指數分佈

\operatorname{Exp}(1 / 2)

的分佈函式，我們知道，

\operatorname{Exp}(1 / 2)

就是

G a(1,1 / 2),

也就是

\chi ^{2}(2)

，即 服從自由度為2的

\chi ^{2}

分佈（i=2，。。。，n）。

習題5。4節19題

證： 因

Y_{i}=-2 \ln F\left(X_{i}\right)

的分佈函式：

F_{Y}(y)=P\left\{-2 \ln F\left(X_{i}\right) \leq y\right\}=P\left\{X_{i} \geq F^{-1}\left(\mathrm{e}^{-\frac{y}{2}}\right)\right\}=1-F\left[F^{-1}\left(\mathrm{e}^{-\frac{y}{2}}\right)\right]=1-\mathrm{e}^{-\frac{y}{2}}, \quad y>0 \\

則

Y_{i}=-2 \ln F\left(X_{i}\right)

服從指數分佈

\operatorname{Exp}\left(\frac{1}{2}\right),

也就是服從自由度為 2 的

\chi^{2}

分佈

\chi^{2}(2),

因

X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}

相互獨立，有

Y_{1}, Y_{2}, \cdots, Y_{n}

相互獨立， 故由

\chi^{2}

分佈的可加性知

T=-2 \sum_{i=1}^{n} \ln F\left(X_{i}\right)

服從

\chi^{2}(2 n) .

習題7。4 第3題 求統計量

\frac{\sum_{i=1}^{n} x_{i} /2n }{\sum_{i=1}^{m} y_{i} /2m}

在原假設成立下的分佈。

標簽： 習題  分佈  服從  糾錯  自由度 

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