[進化論]：如何從普通的雞鶴系進化為 σ-袋鼠？

作者：由 zdr0 發表于遊戲時間：2022-11-06

雞鶴系

假設現在有一個雞鶴圈（juan，四聲。例：豬圈）

$\Omega$

，裡面有雞鶴

$\left( \Omega\ne\emptyset \right)$

。設

$\mathcal{A}\subseteq 2^{\Omega}$

為一個雞鶴系。一個普通的雞鶴系是普通的，沒有任何特點。

但是，我們可以賦予它們一些性質，讓它們變得特別起來，同時也是為了進化做準備。下面我就羅列幾個：

#FormatImgID_4#

#FormatImgID_5#穩定雞鶴系

，也叫

#FormatImgID_6#系

。

對於一個

$\cap-$

穩定雞鶴系

$\mathcal{A}$

裡面的兩個雞鶴集

，成立

$A\cap B\in\mathcal{A}$

。

$\rm\left( ii \right).$

$\sigma-\cap-$

穩定雞鶴系

。

對於一個

$\sigma-\cap-$

穩定雞鶴系

$\mathcal{A}$

裡面的可數個雞鶴集

$A_1,A_2,\ldots$

，成立

$\displaystyle{\bigcap_{i\in\mathbb{N}}A_i\in\mathcal{A}}$

。

$\rm\left( iii \right).$

$\cup-$

穩定雞鶴系

。

對於一個

$\cup-$

穩定雞鶴系

$\mathcal{A}$

裡面的兩個雞鶴集

，成立

$A\cup B\in\mathcal{A}$

。

$\rm\left( iv \right).$

$\sigma-\cup-$

穩定雞鶴系

。

對於一個

$\sigma-\cup-$

穩定雞鶴系

$\mathcal{A}$

裡面的可數個雞鶴集

$A_1,A_2,\ldots$

，成立

$\displaystyle{\bigcup_{i\in\mathbb{N}}A_i\in\mathcal{A}}$

。

$\rm\left( v \right).$

$\setminus-$

穩定雞鶴系

。

對於一個

$\cap-$

穩定雞鶴系

$\mathcal{A}$

裡面的兩個雞鶴集

，成立

$A\setminus B\in\mathcal{A}$

。

$\rm\left( vi \right).$

補穩定雞鶴系

。

對於一個補穩定雞鶴系

$\mathcal{A}$

裡面的雞鶴集

，成立

$\overline{A}:=\Omega\setminus A\in\mathcal{A}$

。

現在我們可以藉助這些被賦予了特殊屬性的雞鶴系定義更高階的雞鶴繫了。

首先，最初級的一個高階雞鶴系

$\mathcal{A}\subseteq 2^{\Omega}$

稱為

半環

。對於一個半環

$\mathcal{A}$

，它具有的性質為：

$\rm\left( i \right).$

$\emptyset\in\mathcal{A}$

（即空雞鶴集在半環中）。

$\rm\left( ii \right).$

對於任意的兩個雞鶴集

$A,B\in\mathcal{A}$

，差集

$B\setminus A$

可以被寫為

$\mathcal{A}$

中的非交雞鶴集的有限聯集。

$\rm\left( iii \right).$

$\mathcal{A}$

是

$\pi-$

系。

比半環再高階一點的雞鶴系

$\mathcal{A}\subseteq 2^{\Omega}$

稱為

環

。對於一個環

$\mathcal{A}$

，它具有的性質為：

$\rm\left( i \right).$

$\emptyset\in\mathcal{A}$

。

$\rm\left( ii \right).$

$\mathcal{A}$

是

$\setminus-$

穩定的。

$\rm\left( iii \right).$

$\mathcal{A}$

是

$\cup-$

穩定的。

比環再高階雞鶴繫有三個：它們分別被稱為

袋鼠

，

#FormatImgID_60# 環

與

#FormatImgID_61# 系

（或稱為

Dynkin 系

）。

對於袋鼠

$\mathcal{A}$

而言，它具有性質：

$\rm\left( i \right).$

$\Omega\in\mathcal{A}$

。

$\rm\left( ii \right).$

$\mathcal{A}$

是

$\setminus-$

穩定的。

$\rm\left( iii \right).$

$\mathcal{A}$

是

$\cup-$

穩定的。

對於

$\sigma-$

環而言，它具有性質：

$\rm\left( i \right).$

$\emptyset\in\mathcal{A}$

。

$\rm\left( ii \right).$

$\mathcal{A}$

是

$\setminus-$

穩定的。

$\rm\left( iii \right).$

$\mathcal{A}$

是

$\sigma-\cup-$

穩定的。

對於

$\lambda-$

系，它的性質為：

$\rm\left( i \right).$

$\Omega\in\mathcal{A}$

。

$\rm\left( ii \right).$

對於任意的兩個雞鶴集

$A,B\in\mathcal{A}$

且

$A\subseteq B$

，成立

$B\setminus A\in\mathcal{A}$

。

$\rm\left( iii \right).$

對於可數個不交的雞鶴集

$A_1,A_2,\ldots\in\mathcal{A}$

的任意一種選擇，成立

$\displaystyle{\biguplus_{i\in\mathbb{N}}A_i\in\mathcal{A}}$

。

最後，最頂級的雞鶴系就是我們的

#FormatImgID_90# 袋鼠

了，它是雞鶴系進化的最終形態。對於一個

$\sigma-$

袋鼠，它的性質為：

$\rm\left( i \right).$

$\Omega\in\mathcal{A}$

。

$\rm\left( ii \right).$

$\mathcal{A}$

是補穩定的。

$\rm\left( iii \right).$

$\mathcal{A}$

是

$\sigma-\cup-$

穩定的。

雞鶴系的進化

下面就從半環開始，看看一個半環如何進化為頂級雞鶴系——

$\sigma-$

袋鼠。這得益於一個定理：

$\rm\left( i \right).$

每一個

$\sigma-$

袋鼠也是一個

$\lambda-$

系，一個袋鼠，一個

$\sigma-$

環。

$\rm\left( ii \right).$

每個

$\sigma-$

環也是一個環，每個環也是一個半環。

$\rm\left( iii\right).$

每個袋鼠也是一個環。在一個有限雞鶴圈

$\Omega$

上的袋鼠為一個

$\sigma-$

袋鼠。

${\mathrm{\bf Proof}}:$

$\rm\left( i \right).$

設

$\mathcal{A}\subseteq 2^{\Omega}$

為一個

$\sigma-$

袋鼠。首先證明它為一個

$\lambda-$

系。首先雞鶴圈

$\Omega\in\mathcal{A}$

。因為

$\mathcal{A}$

是

$\sigma-\cup-$

穩定的，因此它也是

$\cup-$

穩定的。對於雞鶴集

$A,B\in\mathcal{A}$

且

$A\subseteq B$

，因為

$\mathcal{A}$

是補穩定的，我們首先有

$\overline{B}\in\cal A$

，進而：

$B\setminus A=B\cap\overline{A}=\overline{\overline{B}\cup A}\in\cal A,\\$

因為

$\cal A$

是

$\cup-$

穩定的且是補穩定的。因為

$\mathcal{A}$

是

$\sigma-\cup-$

穩定的，因此特別的，對於非交的雞鶴集

$A_1,A_2,\ldots\in\mathcal{A}$

成立：

$\displaystyle{\bigcup_{i\in\mathbb N}A_i=\biguplus_{i\in\mathbb N}A_i\in\mathcal{A}}.\\$

因此

$\cal A$

為一個

$\lambda-$

系。

接下來，我們再證明

$\mathcal A$

為一個袋鼠。首先雞鶴圈

$\Omega\in\mathcal{A}$

。因為

$\mathcal{A}$

是

$\sigma-\cup-$

穩定的，因此它也是

$\cup-$

穩定的。對於雞鶴集

$A,B\in\mathcal{A}$

，因為

$\mathcal{A}$

是補穩定的，我們首先有

$\overline{B}\in\cal A$

，進而：

$B\setminus A=B\cap\overline{A}=\overline{\overline{B}\cup A}\in\cal A,\\$

因為

$\cal A$

是

$\cup-$

穩定的且是補穩定的。因此

$\cal A$

是

$\setminus-$

穩定的。因此

$\mathcal A$

為一個袋鼠。

最後證明

$\mathcal A$

為一個

$\sigma-$

環。因為雞鶴圈

$\Omega\in\mathcal{A}$

，且因為

$\cal A$

是補穩定的，因此

$\emptyset=\overline{\Omega}\in\cal A$

。因為

$\mathcal{A}$

是

$\sigma-\cup-$

穩定的，因此它也是

$\cup-$

穩定的。對於雞鶴集

$A,B\in\mathcal{A}$

，因為

$\mathcal{A}$

是補穩定的，我們首先有

$\overline{B}\in\cal A$

，進而：

$B\setminus A=B\cap\overline{A}=\overline{\overline{B}\cup A}\in\cal A,\\$

因為

$\cal A$

是

$\cup-$

穩定的且是補穩定的。因此

$\cal A$

是

$\setminus-$

穩定的。因此

$\mathcal A$

為一個

$\sigma-$

環。

$\rm(ii).$

設雞鶴系

$\mathcal{A}\subseteq 2^{\Omega}$

為一個

$\sigma-$

環。因此

$\emptyset\in\cal A$

且

$\cal A$

是

$\setminus-$

穩定的。因為

$\mathcal{A}$

是

$\sigma-\cup-$

穩定的，因此它也是

$\cup-$

穩定的。因此

$\mathcal A$

為一個

$\sigma-$

環。

證明這半部分時，我們先來簡單證明一個引理：設

$\cal A$

是

$\setminus-$

穩定的，則

$\cal A$

是

$\cap-$

穩定的。這個簡單，設

$A,B\in\cal A$

則

$A\cap B=A\setminus\left( A\setminus B \right)\in\mathcal{A}$

。引理就證完了。現在設雞鶴系

$\mathcal{A}\subseteq 2^{\Omega}$

為一個環。則首先

$\emptyset\in\cal A$

。因為

$\cal A$

是

$\setminus-$

穩定的，則由我們剛剛證明的引理可以

$\cal A$

是

$\cap-$

穩定的。因為

$\cal A$

是

$\setminus-$

穩定的，則對於任意的

$A,B\in\mathcal A$

都有

$B\setminus A\in\mathcal{A}$

。那麼

$B\setminus A\in\mathcal{A}$

可以表示為

$\cal A$

中集合的可數（有限）不相交聯集。綜上所述，

$\cal A$

是一個半環。

$\rm\left( iii \right).$

設雞鶴系

$\mathcal{A}\subseteq 2^{\Omega}$

為一個袋鼠。因為雞鶴圈

$\Omega\in\mathcal{A}$

，且因為

$\cal A$

是

$\setminus-$

穩定的，因此

$\emptyset={\Omega}\setminus\Omega\in\cal A$

。因此

$\cal A$

為一個環。如果另外雞鶴圈

$\Omega$

是有限的，那麼

$\cal A$

是有限的。因此，

$\cal A$

中雞鶴集的任一可數聯集都是有限聯集。因此，

$\cal A$

是

$\setminus-$

穩定的意味著

$\cal A$

也是補穩定的。因此

$\cal A$

是一個

$\sigma-$

代數。

$\square$

上述定理為我們提供了半環進化為

$\sigma-$

袋鼠的進化路線，一共有兩條：

路線一：半環

$\overset{\cup-\mathrm{stable}}{\longrightarrow}$

環

$\overset{\Omega\in\mathcal{A}}{\longrightarrow}$

袋鼠

$\overset{\sigma-\cup-\mathrm{stable}}{\longrightarrow}$

$\sigma-$

袋鼠。

路線二：半環

$\overset{\cup-\mathrm{stable}}{\longrightarrow}$

環

$\overset{\sigma-\cup-\mathrm{stable}}{\longrightarrow}$

$\sigma-$

環

$\overset{\Omega\in\mathcal{A}}{\longrightarrow}$

$\sigma-$

袋鼠。

此外，對於特殊的

$\lambda-$

系，它有獨特的進化路線，並且只需進化一次就可以直接稱為

$\sigma-$

袋鼠：

$\lambda-$

系的進化路線：

$\lambda-$

系

$\overset{\cap-\mathrm{stable}}{\longrightarrow}$

$\sigma-$

袋鼠。

上述所有路線中，箭頭上方所標註的均為進化條件。

所有雞鶴系之間的關係可以總結為下面的圖：

圖片 1：雞鶴系的進化。

進化條件可自行在圖片 1 中補充。

標簽：雞鶴系穩定袋鼠雞鶴集半環

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