非高等數學推導開普勒方程

作者：由李瀟發表于遊戲時間：2021-10-04

1609年開普勒發表了著作《新天文學》，其中他提出了行星運動的兩大定律：橢圓定律和麵積定律，書中給出了一個方程，透過這個方程他將時間與行星位置的變化關係定量的描述出來。

對於已知的行星軌道，透過任意時刻觀察到的行星位置，就可以計算出間隔某段時間行星所處的位置，或者反過來求解經過多少時間行星會運動到某個特定位置。

這個方程就被稱為開普勒方程：

其中

被被稱為偏近點角，

被稱為平近點角，它們的幾何意義將在後文介紹。

知乎上已經有很多文章及回答介紹了開普勒方程的推導以及求解方式，我看過的就已經有如下幾篇：

既然已經有如此多的介紹，我為什麼在此還要推導一遍呢？大概是因為這些已有的推導我自己都看著頭大吧，畢竟用到了很多的積分。不過開普勒在推匯出開普勒方程的時候高等數學還沒有建立，既然他能推出這個公式，那想必不用高等數學應該也可以搞定吧。不過由於沒有拜讀過《新天文學》，所以暫時我還不知道開普勒具體用了什麼方法。

另外，開普勒侷限於觀測記錄，僅僅知道橢圓軌道這一形式，而並不清楚在萬有引力作用下二體運動的軌跡還可以有拋物線和雙曲線（圓和直線軌道都可以透過三種圓錐曲線變換離心率和機械能獲得，不做單獨說明），因此他也沒有推導這兩種軌道下的開普勒方程形式。

我們先來看看

開普勒定律

說了什麼。

①橢圓定律：所有行星繞太陽的軌道都是橢圓，太陽在橢圓的一個焦點上。

②面積定律：行星和太陽的連線在相等的時間間隔內掃過的面積相等。

③調和定律：所有行星繞太陽一週的恆星時間的平方與它們軌道半長軸的立方成比例。

開普勒定律後來被擴充套件到拋物線、雙曲線軌道。透過第一定律可知：可透過半長軸a與離心率e 描述軌道的形狀，可透過軌道傾角i，升焦點黃經Ω，近拱點幅角ω 描述軌道朝向。這五個引數確定了軌道在空間中的樣子。

二體問題中六個軌道引數就可描述天體的運動

圖片來源：Orbital elements。

而透過第六個引數真近點角θ（圖中為

$\upsilon$

），就可以描述特定時刻行星在軌道上的位置。

已知時間求位置或者已知位置求時間就要用到開普勒方程。

透過開普勒第二定律可以將時間與天體位置關聯起來，透過已觀測到的天體位置及觀測時間，就推匯出經過特定時間間隔天體的位置或者天體運動到特定位置所需的時間間隔。時間與位置都依賴面積的求解，那麼通過幾何學的知識求解面積就可以規避掉高等數學的應用（畢竟很多積分也是求解特定的面積，只是積分可以更清晰的顯示出內在影響的物理因素有哪些）。

為了簡化面積計算，所以要充分利用圓錐曲線的對稱性，選擇近拱點作為起點正好可以滿足這一需要（不管哪種形式的軌道，近拱點一定存在，而且一定在對稱軸上）。

記橢圓半長軸OA=a，半短軸長為b，半焦距為c，離心率為e=c/a

橢圓軌道，恆星位於焦點S，近拱點為A，運動到B時真近點角為θ

由開普勒第二定律可知，求得扇形ASB佔橢圓總面積之比，即求得從A運動到B的用時t佔公轉週期T之比

記∠BSA為θ，為真近點角（從近拱點經真實恆星到當前位置）

$S_{焦點扇形ASB}=S_{中心扇形AOB}-S_{三角形SOB}$

橢圓可以看做壓扁的正圓，這從橢圓的引數方程看出

$x=a\cdot cos\varphi，y=b\cdot sin\varphi$

，（圓的引數方程

$x=a\cdot cos\varphi，y=a\cdot sin\varphi$

，縱座標變為原來的

$\frac{b}{a}$

即可得到橢圓），可透過正圓輔助求解。

作一個幾何中心重合，半徑等於橢圓半長軸的正圓輔助計算

過點B作橢圓長軸的垂線，垂足為H，垂線交輔助圓於B‘，記

$\angle B$

，

即為偏近點角。

不難看出：

$S_{橢圓}=\frac{b}{a}\cdot S_{輔助圓}$

，

$S_{中心扇形AOB}=\frac{b}{a}\cdot S_{扇形AOB$

，

$BH=\frac{b}{a}\cdot B$

，

$S_{三角形SOB}=\frac{1}{2}c\cdot BH=\frac{1}{2}bc\cdot sinE$

，

$S_{焦點扇形ASB}=\frac{b}{a}\cdot \frac{E}{2\pi}S_{輔助圓}-\frac{1}{2}bc\cdot sinE$

$\frac{t}{T}=\frac{E}{2\pi}-\frac{1}{2\pi}\cdot \frac{c}{a}\cdot sinE=\frac{1}{2\pi}\cdot(E-e sinE)$

記

$M=\frac{2\pi t}{T}$

，則有

（

$0\leq e<1$

）

也可認為是

$M=\frac{S_{焦點扇形ASB}}{S_{橢圓}/(2\pi)}$

，其中

$\frac{S_{橢圓}}{2\pi}=\frac{ab}{2}$

，這個式子雙曲線軌道推導過程還會用到，關於這個式子在橢圓軌道上的幾何意義待到雙曲線軌道推導時再做詳細說明。

至此，已成功推出

橢圓軌道下的開普勒方程

，由於輔助圓與橢圓軌道半長軸相等，由第三定律可知它們的軌道週期也相等，因此假設在相同半長軸的圓軌道上有一勻速圓周運動的假想天體，當假想天體公轉轉過M角度時，對應橢圓軌道上的真實天體從近拱點轉過偏近點角E，對應轉過的真近點角為

$\theta$

，由於假想天體是勻速圓周運動，因此求解出轉過的平近點角M可以簡單算出所經過的時間間隔。

開普勒方程是一個超越方程，求解方法可以參考其它文章，這裡不再介紹，透過開普勒方程可以求出時間與偏近點角E的關係，而我們感興趣的可直接用於觀測的參量為真近點角

$\theta$

，所以還需給出E與

$\theta$

的關係。

$tan\theta=\frac{BH}{SH}=\frac{b\cdot sinE}{a\cdot cosE-c}=\frac{\sqrt{1-e^{2}}\cdot sinE}{cosE-e}$

$tanE=\frac{HB$

，

其中天體到恆星的距離BS可透過橢圓極座標方程獲得（需注意真近點角為極角的補角）

$BS=\frac{b^{2}/a}{1+e cos\theta}$

，

代入化簡後

$tanE=\frac{\sqrt{1-e^{2}}sin\theta}{cos\theta+e}$

。

透過以上推導，已經可以實現已知二體問題橢圓軌道推算天象了，其中的超越方程需要透過迭代建表或者級數反演等方式進行求解，不再贅述。

下面就要開展一些開普勒沒做過的工作了，先來推導

雙曲線

軌道的開普勒方程。稍後再處理拋物線。

先來說雙曲線軌道的開普勒方程，它的形式與橢圓軌道的非常類似，雙曲線軌道需將三角函式代換為雙曲三角函式，

。

，對於雙曲三角函式有這個性質

，即可將方程改寫成

這裡需要先介紹一下雙曲角和雙曲函式。

在圓中，圓心角可視為所對的弧長，而在單位圓

$x^{2}+y^{2}=1$

中扇形面積為弧長的一半；

類似的，也定義雙曲角為雙曲線

中雙曲扇形（雙曲弧線與幾何中心圍成）面積的兩倍，一般雙曲線引數方程

$x=a\cdot coshH ，y=b\cdot sinhH$

，可視為對

伸縮變換獲得。

當雙曲線的a=b=1時，雙曲扇形POR的面積為雙曲角H的一半

當雙曲線是

時，記雙曲扇形POR面積所對的雙曲角為H，則

，

$tanhH=\frac{sinhH}{coshH}$

對於其它雙曲線則需要進行相應的伸縮變換。

$S_{矢徑扇形RCP}= S_{三角形OCP}-S_{雙曲扇形POR} ==\frac{1}{2}c \cdot a \cdot sinhH \cdot \frac{b}{a} -\frac{1}{2} H\cdot a^2 \cdot \frac{b}{a} = \frac{ab}{2} \cdot (esinhH - H)$

兩側同除以

$\frac{ab}{2}$

，整理為

（

）

這裡再次出現了

$\frac{ab}{2}$

，在橢圓軌道推導時沒做詳細說明，現在已經介紹過了雙曲角的面積定義，現在再來看，如果定義一個橢圓中的橢圓角，整個橢圓面積對應

$\pi ab$

，對應橢圓角

$2\pi$

，那這個式子就像是橢圓中單位橢圓角對應的面積的大小一樣，當然放到正圓裡這種定義就和圓心角的面積定義一樣了。雙曲線中單位雙曲角對應的面積也正好是

$\frac{ab}{2}$

。

H與真近點角θ的換算

$tanθ = \frac{PQ}{CQ}=\frac{b\cdot sinhH }{c - a coshH}=\frac{\sqrt{e^2-1}sinhH}{e - coshH}$

$tanhH =\frac{PQ}{OQ}=\frac{PC sinθ \cdot a/b}{c - PC cosθ} =\frac{\sqrt{e^2-1}sinθ}{e+cosθ}$

其中天體到恆星的距離PC可透過雙曲線極座標方程獲得（需注意真近點角為極角的補角）

下面推導

拋物線

軌道的開普勒方程。

古希臘時期已經知道拋物線下與座標軸所圍面積為對應矩形的1/3，這對計算面積有很大幫助。

焦距

$SA=\frac{p}{2}$

，天體到恆星距離透過拋物線極座標表達方式匯出

$SB=\frac{p}{1+cosθ}$

$AC=SB\cdot sinθ ，BC=\frac{p}{2}-SB\cdot cosθ$

$S_{拋物線下ACB}=S_{矩形ACBD}/3$

$S_{扇形ASB}=S_{梯形ASBC}-S_{拋物線下ACB} =p^2 \cdot [\frac{sinθ}{3(1+cosθ)} - \frac{sinθcosθ}{6(1+cosθ)^2} ] =\frac{p^2}{4} \cdot [tan(\frac{θ}{2})+ \frac{1}{3} tan^3(\frac{θ}{2})]$

記

$B=tan(\frac{θ}{2})$

，B為拋物線偏近點角

兩側同除

$\frac{p^2}{2}$

整理方程為

$M=\frac{1}{2} B + \frac{1}{6} B^3$

，這就是拋物線軌道的開普勒方程。

這裡B以及

$\frac{p^2}{2}$

的幾何意義暫時沒想清楚，希望哪位高賢可以指點一下，現在我的推導過程是知道答案是什麼樣，然後硬用三角函式半形公式湊過去的。

至此，完成全部開普勒方程的推導，不足之處還望斧正。

標簽：橢圓開普勒軌道點角方程

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非高等數學推導開普勒方程

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