加法交換律、結合律與數學歸納法
作者：由 Bat特白 發表于 遊戲時間：2017-09-22
現在是㋈㏵㍦（這些字元真好玩兒）。
上一次提到了自然數的公理化定義和“加法”的定義，那麼小學大家（包括我）都學習過加法交換律、結合律——那時候至少我沒有思考過它們為什麼是對的，中學大家（也包括我）都學習過數學歸納法——不過那時候我真的思考過它為什麼是可以用的，結果是
想不透
。。@_@|||||。。 。
好了，下面正式（雖然還是不非常嚴謹）介紹“
自然數的加法交換律、結合律與數學歸納法
”——這是通常的陳述順序，而“事實上”（準確地說是“
在這個公理體系下
”）陳述的順序則是“
自然數的歸納、加法的結合律、加法的交換律
”。
上次介紹皮亞諾自然數公理化定義時，其實“故意忽略”了另外一個重要的公理——
歸納公理
（axiom of induction）：
假設
滿足
；且
如果
，那麼
。
則
是包含全體自然數的集合，即
。
——這個公理本身就是“數學歸納法”。
接下來，首先要證明“
自然數加法的結合律
”（這需要使用到歸納公理）：
固定
和
，設
。
則
由
知
；
若
，則由下圖知
。
由歸納公理有
。
要證明“
自然數加法的交換律
”，先得證明一個交換律的“特殊情況”：
•設
•則
；
若
，則由下圖知
。
故而由歸納公理有，
。
下面可以完整證明“
自然數加法的交換律
”——
•固定
，設
，則
；
若
，則由下圖知
。
故而由歸納公理有，
。
自然數和加法就說到這裡吧。什麼是整數？什麼是有理數？什麼是減法？什麼是大於、小於？什麼是乘法？什麼是除法？……這些問題我不想談了，讀者可以查閱其他文獻（都不難）。
至於“什麼是實數”、“自然數還有別的定義方法麼”？這些問題，
以後會聊
！。
