證明第5個費馬數不是素數？

作者：由匿名使用者發表于舞蹈時間：2013-09-27

知乎使用者2013-09-27 17:06:26

The fact that 641 is a factor of

5 can be easily deduced from the equalities

$641=5\times 2^7+1=2^4+5^4$

It follows from the first equality that

$2^7\times 5 \equiv -1 (\mbox{\rm mod } 641)$

and therefore （raising to the fourth power） that

$2^{28}\times 5^4 \equiv 1(\mbox{\rm {mod }}641)$

。 On the other hand， the second equality implies that

$5^4\equiv -2^4(\mbox{\rm mod }641)$

。 Combining both congruences leads to

$-2^{32} \equiv 1(\mbox{\rm mod }641)$

。

參考：Fermat number

Yakumo Ran2014-01-28 11:01:34

首先Fn的素因子一定是

$k2^{n+1}+1$

的形式

所以F5的素因子要在

裡找（然後我總覺得Euler就是一個個試，641之前符合條件的只有193，257，449，577。才4個）

由於

$&&(1+ab-b^4)a^4+1\\ &=&(1+ab)a^4+(1-a^4b^4)\\ &=&(1+ab)[a^4+(1-ab)(1+a^2b^2)]$

$2^{32}=(2^8)^4$

分成

兩個相乘有八種可能性

一一嘗試，發現

是一個可行的解

此時

$1+ab=641=64\cdot 10 +1$

也符合上面的斷言

知乎使用者2014-04-17 09:55:07

$F_{5}&=&2^{32}+1\\ &=&2^{4}\cdot2^{28}+1\\ &=&16\cdot\left(2^{7}\right)^{4}+1\\ &=&\left(3\times5+1\right)\cdot\left(2^{7}\right)^{4}+1\\ &=&\left[ \left(128-125\right)\times5+1 \right] \cdot\left(2^{7}\right)^{4}+1\\ &=&\left[ \left(2^{7}-5^{3}\right)\times5+1 \right] \cdot\left(2^{7}\right)^{4}+1\\ &=& \left(5\cdot2^{7}+1-5^{4}\right) \cdot\left(2^{7}\right)^{4}+1\\ &=&\left(2^{7}\right)^{4}\cdot\left[5\cdot2^{7}+1\right]-5^{4}\cdot\left(2^{7}\right)^{4}+1\\ &=&\left(2^{7}\right)^{4}\cdot\left[5\cdot2^{7}+1\right]+\left[1-5^{2}\cdot\left(2^{7}\right)^{2}\right]\cdot\left[1+5^{2}\cdot\left(2^{7}\right)^{2}\right]\\ &=&\left(2^{7}\right)^{4}\cdot\left[5\cdot2^{7}+1\right]+\left[1+5\cdot2^{7}\right]\cdot\left[1-5\cdot2^{7}\right]\cdot\left[1+5^{2}\cdot\left(2^{7}\right)^{2}\right]\\ &=&\left[5\cdot2^{7}+1\right]\cdot\left( \left(2^{7}\right)^{4}+ \left[1-5\cdot2^{7}\right]\cdot\left[1+5^{2}\cdot\left(2^{7}\right)^{2}\right]\right)$

這個反例充分體現了超一流數學家驚人的直覺特別是把3寫成128-125 簡直匪夷所思當年初中時候看到感覺見到了神蹟

宙宇0012021-08-09 12:44:47

這是印象裡好久好久之前看到的方法，剛剛花了半個小時還原.

考慮到

$\\\Large 2^7-5^3=3以及16-1=15=5\times 3$

所以

$\\\begin{align} \Large 2^{32}+1&\Large =16\times(2^7)^4+1\\ &\Large=\{1+5\times (2^7-5^3)\}\times (2^7)^4+1\\ &\Large=(1+5\times 2^7)\times (2^7)^4-(5\times 2^7)^4+1 \end{align}$