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每日一題5.構造點到直線距離公式

作者：由 Clouder 發表于舞蹈時間：2021-07-18

函式

$f(x) = \dfrac{\sin x - 1}{\sqrt{3 - 2 \cos x - 2 \sin x}} (x \in [0,2\pi])\$

的值域？

這個式子看上去就非常的令人畏懼。

不妨考慮

$t = \dfrac{\sin x - 1}{\sqrt{3 - 2 \cos x - 2 \sin x}}\$

，則

$t^2 = \dfrac{(\sin x - 1)^2}{3 - 2 \cos x - 2\sin x}\$

$3 - 2 \cos x - 2 \sin x = \sin ^2 x - 2 \sin x + 1 + \cos ^2 x - 2 \cos x + 1 = (\sin x - 1)^2 + (\cos x - 1)^2\$

那麼

$\dfrac{1}{t^2} = \dfrac{(\sin x -1)^2 + (\cos x - 1)^2}{(\sin x - 1)^2} = 1 + (\dfrac{\cos x - 1}{\sin x - 1})^2\$

對於

$\dfrac{\cos x - 1}{\sin x - 1}\$

，我們可以看作單位圓上一點

$(\sin x, \cos x)\$

到點

$(1,1)\$

的斜率。此時需要注意到，要求

$x \in [0,2\pi]\$

。

那麼

$(\dfrac{\cos x - 1}{\sin x - 1})^2\$

最小值為

$0\$

，當

$x = 0\$

時取到，最大值為

$+\infty\$

，當

$x = \dfrac{\pi}{2}\$

時取到。

則

$\dfrac{1}{t^2} \in [1,+\infty)\$

，則

$t^2 \in (0,1]\$

，注意這裡要考慮

$t^2 = 0\$

到底是否可行，因為取倒數時我們忽略了這種情況。不難發現其實

$x = \dfrac{\pi}{2}\$

對應的就是

$t^2 = 0\$

的情況。

那麼

$t^2 \in [0,1]\$

，考慮到

$\sin x - 1 \le 0\$

恆成立，因此

$t \le 0\$

恆成立，則

$t \in [-1,0]\$

這樣做整體思路上比較常規，比較關鍵的步驟是對分母進行配方，以及運用數形結合思想處理

$(\dfrac{\cos x - 1}{\sin x - 1})^2\$

。

考慮點到直線距離公式，

$f(x) = - \dfrac{|1 - \sin x|}{\sqrt{(\sin x - 1)^2 + (\cos x - 1)^2}}\$

構造

$(1 - \sin x)m + (1 - \cos x)n = 0\$

，則

$f(x) \$

表示

$(1,0)\$

到該直線的距離的相反數。

根據我的第一感覺，該直線是不能任意取值的。因此需要嘗試著求一下。

得到

$k = -\dfrac{1 - \sin x}{1 - \cos x}\$

，這個結構再次出現，考慮為

$(\cos x, \sin x)\$

到點

$(1,1)\$

的斜率的相反數，注意

$x \in [0,2\pi]\$

，則

$k \in (-\infty,0]\$

求出直線斜率範圍後，可以發現

$f(x)\$

表示直線到

$(1,0)\$

的距離的相反數，那麼其實是關於

$x\$

軸對稱的，因此無需過多考慮。

最小距離就是

$0\$

，最大距離就是

$1\$

了，

$f(x) \in [-1,0]\$

，中間的所有值也都能取到。

此方法核心為數形結合，需要觀察出原式點到直線距離公式的代數結構。

有一個需要注意的點是求直線的範圍，雖然兩端的極端情況很容易求出，但值域能否連續依然需要考慮。

關於高考會不會考本題似乎有所爭議、、、本題中考點未有超綱，出處是《更高更妙的高考數學二輪複習》的課後題，本人不瞭解是否為高考真題或是否有高考題作為原型。

本人沒有刷光近十幾年高考題，也應該不會有這個打算，更沒有押高考題的意圖、、、請各位讀者自行斟酌。

標簽：直線相反數距離考慮高考題

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