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投資組合管理和資本資產定價模型(CAPM)

作者：由格羅卜學數學發表于舞蹈時間：2020-02-12

1 投資組合，收益和風險； 2 兩種資產的投資組合； 3 多資產的投資組合

1 投資組合，收益和風險

[風險溢價]

去除無風險收益之後的實際預期收益。

[公平遊戲]

風險溢價為零時的情況稱為

公平遊戲

。

[投機]

在獲取

相應的報酬

時承擔

一定的商業風險

。需要解釋兩個詞。

（1）相應的報酬：= 風險溢價。

（2）一定的風險：= 足以影響決策的風險。

$\bullet$

當增加的收益不足以補償所冒的風險時，投資者可能會放棄一個產生正的風險溢價的機會。

$\bullet$

風險溢價要大到足以補償風險厭惡型投資者的投資風險。

[風險厭惡者]

風險厭惡型投資者不會參加

公平遊戲

。他們只願意進行無風險投資或投機性投資。

[效用]

效用數值可以看成是對資產組合排序的一種方法。許多“排序”體系都是合乎邏輯的。下面是金融理論者廣泛使用的一個函式，資產組合的預期收益為

，其收益方差

$\sigma^2$

，其效用值為：

$U= E ( r ) - 0.005 A\sigma^2.$

式中，

為效用值，

為投資者的風險厭惡指數。

[風險愛好者]

風險愛好者願意參加公平遊戲與賭博；這種投資者把風險的“樂趣” 考慮在內，使預期收益率上調。因為上調的風險效用使得公平遊戲的確定等價值高於無風險投資，風險愛好者總是加入公平遊戲。

[無差異曲線]

縱軸表示資產組合收益的預期值，橫軸表示標準差。二元函式

$U(E(r), \sigma)$

的等高線稱為

無差異曲線

。

往左上走越優，往右下走越差。

$\bullet$

風險厭惡程度低的投資者其無差異曲線更平緩：風險的上升只要求較少的收益的增加就能達到原有的效用水平。

2 兩種資產的投資組合

[協方差與相關係數]

期望分別為

$\mathbb{E}(X)=\mu$

與

$\mathbb{E}(Y)=\nu$

的兩個具有有限二階矩的實值隨機變數

與

之間的

協方差

定義為：

$Cov(X,Y)=\mathbb{E}(X-\mu)(Y-\nu)$

。

相關係數定義為：

$\rho_{X,Y} :=\frac{ Cov(X,Y)}{\sigma_X \sigma_Y}$

。

$\bullet$

對於隨機變數序列

$X_1, \cdots, X_n$

有

$Var(\sum_{i=1}^nX_i)=\sum_{i=1}^n Var(X_i) +2\sum_{i<j}Cov(X_i,X_j).$

由此可知

協方差對資產組合風險的影響

：正的協方差提高了資產組合的方差，而負的協方差降低了資產組合的方差。

記號：

有兩種資產

與

。期望收益為

$\mu_1$

與

$\mu_2$

，我們假定資產都是有風險的，並且：

$0< \sigma_1 \leq \sigma_2$

。相應權重為

與

，相關係數為

$\rho$

，那麼：

$\bullet$

投資組合的期望收益為

$\mu = \mu_1 w_1+ \mu_2w_2= \mu_1 (1-s)+ \mu_2s.$

$\bullet$

投資組合的風險為

$\sigma^2 = w_1^2\sigma_1^2 + 2w_1w_2\rho \sigma_1 \sigma_2 + w_2^2\sigma_2^2.$

$\bullet$

情形一：假定單個資產不相關，即

$\rho=0$

.

此時投資組合的風險為

$\sigma^2 = w_1^2\sigma_1^2 + w_2^2\sigma_2^2.$

簡單計算這個二次函式發現最小風險發生在

$s_{m}=\frac{\sigma_1^2}{\sigma_1^2+\sigma_2^2}$

處，此時

$\sigma^2_{m}=\frac{\sigma_1^2\sigma_2^2}{\sigma_1^2+\sigma_2^2}$

。

注意到

$0<\sigma_m^2\leq min \{ \sigma_1^2 ,\sigma_2^2 \}$

，這表明風險的確有所減少。

$\bullet$

情形二：假定單個資產完全正相關，即

$\rho=1$

.

此時

$\sigma^2 = (w_1\sigma_1 + w_2\sigma_2)^2,$

或者

$\sigma= |w_1\sigma_1 +w_2\sigma_2|= |(1-s)\sigma_1 + s\sigma_2|.$

為了研究方便先忽略絕對值，令

$\sigma$

畫出圖形：

取絕對值後：

$\cdot$

當

$\rho= 1$

，

$\sigma_1 =\sigma_2$

時，所有組合皆具有相同風險，它們同時為最小風險。

$\cdot$

當

$\rho= 1$

，

$0<\sigma_1 <\sigma_2$

時，最小風險組合為：

$w_1=\frac{-\sigma_2}{\sigma_1-\sigma_2}>0,$

$w_2=\frac{\sigma_1}{\sigma_1-\sigma_2}<0$

（賣空），此時有：

$\mu_{min}=\frac{\sigma_1\mu_2-\sigma_2\mu_1}{\sigma_1-\sigma_2},$

$\sigma_{min}=0.$

$\bullet$

情形三：假定單個資產完全負相關，即

$\rho=-1$

.

此時

$\sigma^2 = (w_1\sigma_1 - w_2\sigma_2)^2,$

或者

$\sigma= |w_1\sigma_1 -w_2\sigma_2|= |(1-s)\sigma_1 - s\sigma_2|.$

為了研究方便先忽略絕對值，令

$\sigma$

畫出圖形：

取絕對值之後：

當

$\rho= -1$

，

$0<\sigma_1 \leq \sigma_2$

時，最小風險組合為：

$w_1=\frac{\sigma_2}{\sigma_1+\sigma_2},$

$w_2=\frac{\sigma_1}{\sigma_1+\sigma_2},$

此時有：

$\mu_{min}=\frac{\sigma_1\mu_2+\sigma_2\mu_1}{\sigma_1+\sigma_2},$

$\sigma_{min}=0.$

$\bullet$

情形四:

當

$-1< \rho<1,0<\sigma_1 <\sigma_2$

時，最小風險組合為：

$s_{min}=\frac{\sigma_1(\sigma_1-\rho\sigma_2)}{\sigma_1^2+\sigma_2^2-2\rho\sigma_1\sigma_2},$

此時有：

$\sigma_{min}^2=\frac{\sigma_1^2\sigma_2^2(1-\rho^2)}{\sigma_1^2+\sigma_2^2-2\rho\sigma_1\sigma_2}.$

3 多資產的投資組合

3-1 馬科維茨彈頭

記號：資產(隨機變數)

$R_1, \cdots R_n.$

資產權重矩陣

$W=(w_1, \cdots ,w_n)$

,

$w_1 + \cdots +w_n =1$

。

收益矩陣

$M=(\mu_1, \cdots ,\mu_n)$

。

協方差矩陣

$C = [c_{ij}]_{n\times n}$

，其中

$c_{ij}=Cov(R_i, R_j).$

我們來考慮投資組合中各資產權重為

$W=(w_1, \cdots ,w_n)$

。

定義

$f: \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^2$

為

$f(W) =(\sigma(W), \mu(W)).$

權重超平面的像稱為

馬科維茨彈頭.

3-2 最小風險點

[目標]

求解約束

$w_1 + \cdots +w_n =1$

下的極值問題

$min \ \sigma^2(W) =WCW^{T}$

。

[方法]

簡單的拉格朗日乘數法。

［結果］

$W=\frac{OC^{-1}}{OC^{-1}O^{T}}.$

這裡

$O=[1 \ 1 \cdots 1]$

。

3-3 馬科維茨有效邊界

[目標]

求解兩個約束

$w_1 + \cdots +w_n =1$

和

$w_1 \mu_1+ \cdots +w_n \mu_n = \mu$

下的極值問題

$min \ \sigma^2(W) =WCW^{T}$

。

[方法]

簡單的拉格朗日乘數法。

[結果]

這裡

$O=[1 \ 1 \cdots 1]$

。

[馬科維茨有效邊界]

給定每一個

$\mu$

都會有一個投資組合

，進而會有一個風險

$\sigma$

。這個

$\sigma - \mu$

軌跡稱為

馬科維茨有效邊界

。

[可到達點]

稱為可到達點，如果它的確具有某一投資組合的形式

$(\sigma, \mu)$

。

[佔優點]

可到達點

$(\sigma_1, \mu_1)$

佔優於

$(\sigma_2, \mu_2)$

如果

$\sigma_1 \leq \sigma_2$

且

$\mu_1 \geq \mu_2$

。

[定理: 馬科維茨有效邊界的意義]

任給可到達點，都存在馬科維茨有效邊界上的點佔優於它。因此對任意期望都追求最小風險的投資者來說，只需要考慮馬科維茨有效邊界上的投資組合。

3-4 資本資產定價模型(CAPM)

現在我們可以把一定量的資本在

某一特定的風險資產組合

與

無風險資產

之間分配。

記號：

風險資產份額

$w_1, \cdots w_n$

期望收益率

$\mu_i$

，風險為

$\sigma_i$

。無風險資產份額

$w_{rf}$

。

整個投資組合的期望收益：

$\mu= \mu_{rf}w_{rf} + \sum \mu_i w_i = \mu_{rf}w_{rf} + \mu_{risky}$

整個投資組合的風險：

$\sigma = \sigma _{risky}$

引入記號

$\mu_{der}:= \sum_{i=1}^{n} \frac{w_i}{w_{risky}}\mu_i$

，那麼

$\mu= \mu_{rf}w_{rf} + w_{risky}\mu_{der}$

。

引入記號

$\sigma_{der}^2:= Var(\sum_{i=1}^{n} \frac{w_i}{w_{risky}}R_i)$

，那麼

$\sigma = w_{risky}\sigma_{der}.$

由

$w_{rf} + w_{risky} =1$

得

$\mu= \mu_{rf} + w_{risky}(\mu_{der}-\mu_{rf})= \mu_{rf} +\frac{\sigma}{\sigma_{der}}(\mu_{der}-\mu_{rf})$

，也就是：

$\mu= \mu_{rf} +\frac{\mu_{der}-\mu_{rf}}{\sigma_{der}} \sigma$

（）

$\bullet$

如果

$w_{risky}=0$

，則

$(\sigma, \mu) =(0, \mu_{rf})$

。

$\bullet$

如果

$w_{risky}=1$

，則

$(\sigma, \mu) =(\sigma_{der}, \mu_{der})$

。該點一定落在

馬科維茨彈頭.

這是從縱軸上的無風險資產點出發，經過有效邊界上一點的

射線

。

我們把這樣的線（）稱為

資本配置線(CAL)，

線上的每一點表示一個風險資產與無風險資產組成的投資組合。由於有效邊界上有無數個風險資產（組合），故我們能找到無數條 CAL。

$\bullet$

當其他條件相等時，對於投資者，資本配置線越抖越好！

我們自然想到要找到

資本配置線

中最陡的一條，也就是與馬科維茨有效邊界相切。

標簽：風險組合資產維茨馬科

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