Dempster-Shafer's theory（證據理論）

作者：由鬍子悍匪發表于舞蹈時間：2022-02-21

1 直觀認識

別稱：證據理論、Dempster-Shafer理論、DS理論。

優點：簡單理解，我們透過實驗獲取資料比理論推導要更直觀更容易一些，而證據理論的核心——

Dempster合成規則

，能綜合不同專家或者資料來源的知識或者資料，這就使得證據理論在

專家系統

、

資訊融合

等領域中得到了廣泛應用。

侷限性：

證據/資料必須是獨立的，而這有時不易滿足；

證據合成規則沒有非常堅固的理論支援，其合理性和有效性還存在較大的爭議；

計算上存在著潛在的指數爆炸問題。

2 經典證據理論

證據理論的主要特點有：

滿足比Bayes機率理論更弱的條件，即

不必滿足機率可加性

。

具有直接表達”

不確定

“和”

不知道

“的能力，這些資訊表示在mass函式中，並在證據理論合成過程中保留了這些資訊。

證據理論不但允許人們將信度賦予假設空間的單個元素，而且還能賦予它的子集，這很象人類在各級抽象層次上的證據收集過程。

2。1 識別框架（Frame of discernment）/假設空間

識別框架：所考察判斷的事物或物件的集合，定義為非空集合

$\Theta = \{ a,b,c,... \}$

，其包含

個兩兩互斥事件。

識別框架的冪包含

$2^{n}$

個元素，

$P(\Theta) = \{ \emptyset, a, b, c, {a,b}, {a,c},..., \Theta \}$

。

例，有兩個嫌疑人a，b，總共有

$\emptyset$

（a，b都不是罪犯）、{a是罪犯}、{b是罪犯}、{a、b都是罪犯} 四種可能

2。2 基本機率分配（Basic probability assignment）

在假設空間上的BPA是一個

$2^ \Theta \rightarrow [0,1]$

的函式m，稱為mass函式，並且滿足：

$m(\emptyset)=0$

$\sum\limits_{A \subseteq \Theta}m(A) = 1$

2。3 信任函式（Belief function）

信任函式也稱為信度函式，在假設空間

$\Theta$

上基於BPA m的信任函式定義為：

$Bel(A) = \sum\limits_{B \subseteq A}m(B)$

2。4 似然函式（Plausibility function）

似然函式也稱為似然度函式，在假設空間

$\Theta$

上基於BPA m的似然函式定義為：

$Pl(A) = \sum\limits_{B \cap A \neq \emptyset }m(B)$

2。5 信任區間

在證據理論中，對於假設空間

$\Theta$

中的某個假設A，根基BPA分別計算出關於該假設的信任函式

和似然函式

組成信任區間

，用以表示對某個假設的確定程度

2。6 Dempster-Shafer‘s 合成規則（核心）

Dempster合成規則，也稱證據合成公式，其定義如下：

對於

$\forall A \subseteq \Theta$

，

$\Theta$

上的兩個mass函式

的Dempster和合成規則為：

$m_1 \oplus m_2(A) = \frac{1}{K} \sum\limits_{B \cap C = A} m_1(B) \cdot m_2(C)$

其中，K為歸一化常數

$K = \sum\limits_{B \cap C \neq \emptyset } m_1(B) \cdot m_2(C) = 1 - \sum\limits_{B \cap C = \emptyset} m_1(B) \cdot m_2(C)$

2。對於

$\forall A \subseteq \Theta$

，

$\Theta$

上的有限個mass函式

的Dempster和合成規則為：

$(m_1 \oplus m_2 \oplus ... \oplus m_n)(A) = \frac{1}{K} \sum\limits_{A_1 \cap A_2 \cap ... \cap A_n = A} m_1(A_1) \cdot m_2(A_2) \cdot \cdot \cdot m_n(A_n)$

其中，

$K = \sum\limits_{A_1 \cap ... \cap A_n \neq \emptyset} m_1(A_1) \cdot m_2(A_2) \cdot \cdot \cdot m_n(A_n) = 1 - \sum\limits_{A_1 \cap ... \cap A_n = \emptyset} m_1(A_1) \cdot m_2(A_2) \cdot \cdot \cdot m_n(A_n)$

3 一個栗子

以自動駕駛障礙物檢測資料融合為例，假設證據源有

LiDAR

和

影象感測器

3。1 確定假設空間

A：有障礙物

B：無障礙物

C：有障礙物或者無無障礙物（不確定）

D：空集（既不是有障礙物，也不是無障礙物，就是沒法判斷）

3。2 確定基本分配機率BPA

$m_L \rightarrow m_{LiDAR},m_I \rightarrow m_{Image}$

假設

0。6

0。1

0。3

0。8

0。1

3。3 計算歸一化常數K

根據公式：

$K = \sum\limits_{B \cap C \neq \emptyset } m_1(B) \cdot m_2(C) = 1 - \sum\limits_{B \cap C = \emptyset } m_1(B) \cdot m_2(C)$

K是將所有交集不為空的假設的聯合mass函式求和，則對應有如下7種交集不為空的假設：

LiDAR假設“有障礙物”：L（A）；Image假設“有障礙物”：I（A）。交集：“有障礙物”

LiDAR假設“有障礙物”：L（A）；Image假設“有障礙物或無障礙物”：I（C）。交集：“有障礙物”

LiDAR假設“無障礙物”：L（B）；Image假設“無障礙物”：I（B）。交集：“無障礙物”

LiDAR假設“無障礙物”：L（B）；Image假設“有障礙物或無障礙物”：I（C）。交集：“無障礙物”

LiDAR假設“有障礙物或無障礙物”：L（C）；Image假設“有障礙物”：I（A）。交集：“有障礙物”

LiDAR假設“有障礙物或無障礙物”：L（C）；Image假設“無障礙物”：I（B）。交集：“無障礙物”

LiDAR假設“有障礙物或無障礙物”：L（C）；Image假設“有障礙物或無障礙物”：I（C）。交集：“有障礙物或無障礙物”

$K =m_L(A) m_I(A)+m_L(A) m_I(C)+m_L(B) m_I(B)+m_L(B) m_I(C)+m_L(C) m_I(A)+m_L(C) m_I(B)+m_L(C) m_I(C) \\= 0.6 * 0.1+0.6 * 0.1+0.3 * 0.8+0.3 * 0.1+0.1 * 0.1+0.1 * 0.8+0.1 * 0.1=0.49$

3。4 計算每個假設的聯合mass

公式如下：

$m_1 \oplus m_2(A) = \frac{1}{K} \sum\limits_{B \cap C = A} m_1(B) \cdot m_2(C)$

$m_{L,I}(A)= \frac{1}{K}(m_L(A)m_I(A)+m_L(A)m_I(C)+m_L(C)m_I(A)\ = \frac{1}{0.49}(0.6 \times0.1 + 0.6 \times0.1 + 0.1 \times0.1) = 0.265$

$m_{L,I}(B) = \frac{1}{K}(m_L(B)m_I(B)+m_L(B)m_I(C)+m_L(C)m_I(B) \ = \frac{1}{0.49}(0.3 \times0.8 + 0.3 \times0.1 + 0.1 \times0.8) = 0.714$

$m_{L,I}(C) = \frac{1}{K}m_L(C)m_I(C) \ = \frac{1}{0.49}(0.1 \times 0.1) = 0.020$

$m_{L,I}(D) = 0$

3。5 計算每個假設的信任區間（［信任函式，似然函式］）

公式如下：

$Bel(A) = \sum\limits_{B \subseteq A}m(B)$

$Pl(A) = \sum\limits_{B \cap A \neq \emptyset}m(B)$

假設

m{L，I}

Bel

0。6

0。1

0。265

0。285

0。3

0。8

0。714

0。734

0。1

0。020

4 總結

DS理論其實有很多侷限性，但限於篇幅原因，就不再贅述，這個博主寫的很詳細傳送門

參考文獻：浙江大學研究生《人工智慧引論》課件第五講

備用連結

標簽：障礙物假設函式 Lidar 證據

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