如何計算留數？

作者：由不考上覆旦不改名發表于舞蹈時間：2019-06-03

今天來計算一道留數的題。

留數的定義：

設

為

的有限孤立奇點，

在

的某個去心領域

$0<\left| z-z_0 \right|<r$

內解析，

為該領域內包含

的任意一條逆時針方向的簡單閉合取線，稱積分

$\frac{1}{2\pi i}\oint f(z)dz$

為

在點

的處的

留數，

記作

即

$Res[f(z),z_0]=\frac{1}{2\pi i}\oint f(z)dz$

如果要計算留數則必須要先找出

孤立奇點

。

孤立奇點：

若

是

的

孤立奇點，則

在

處不解析，在

的去心領域

（

$0<\left| z-z_0\right|<\delta$

）處解析。

如：對於

$\frac{1}{z^{2}(e^{z}-1)}$

，孤立奇點是

。

也是

的三級零點。

孤立奇點分為：

可去奇點、極點、本性奇點。

判斷奇點：

$\left\{\begin{matrix} 可去奇點& \lim_{z \rightarrow z_0}{f(z)=c_0, \quad c_0為復常數}\\ 極點& \lim_{z \rightarrow z_0}{f(z)=\infty , \quad c_0為復常數}\\ 本性奇點& \lim_{z \rightarrow z_0}{f(z)\quad不存在且不為\infty} \end{matrix}\right.$

例如：對於

$f(z)=\frac{z-2}{(z^2-4)(z-1)^3}$

，

為

可去奇點

，

為

一級級點

，

為

三級極點

。

對於

$f(z)=e^\frac{1}{z}$

，

為

本性奇點

。

判斷

為

m級極點

的充要條件是：

$f^{(n)}(z_0)\ne0\quad (n=0,1,2,...,m-1)\quad f^{(m)}(z_0)=0\quad$

判斷了

孤立奇點

以後，就可以計算留數了。

對於留數

$\left\{\begin{matrix} z_0為可去奇點^{} & Res[f(z),z_0]=0\\ z_0為極點& Res[f(z),z_0]=c_{-1}\\ z_0為本性奇點& Res[f(z),z_0]=c_{-1}\end{matrix}\right.$

其中，

$c_{-1}$

為

的

展開式裡，

$(z-z_0)^{-1}$

的係數

為極點時還有以下公式

1。

為一級級點，

$Res[f(z),z_0]=\lim_{z \rightarrow z_0}{(z-z_0)f(z)}$

2。

為m級級點，

$Res[f(z),z_0]=\frac{1}{(m-1)!}\lim_{z \rightarrow z_0}{[(z-z_0)^mf(z)}]^{(m-1)}$

3。若P、Q在

處解析，

$P(z_0)\ne0,\quad Q(z_0)=0,\quad Q$

則

$Res[\frac{P(z)}{Q(z)},z_0]=\frac{P(z_0)}{Q$

例如：

1。計算

$Res[\frac{1-e^{2z}}{z^4},0]$

方法一：

$f(z)=-\frac{1}{z^4}\cdot\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{2^nz^n}{n!}}=-\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{2^nz^{n-4}}{n!}},n=3時，Res[\frac{1-e^{2z}}{z^4},0]=-\frac{4}{3}$