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電磁場的能量守恆 坡印廷向量

作者：由 小時 發表于 舞蹈時間：2018-03-09

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預備知識

麥克斯韋方程組， 電場的能量， 磁場的能量

結論

坡印廷向量

真空中電磁場的能流密度為

\begin{align}&\boldsymbol{\mathbf{s}} = \frac{1}{\mu_0} \boldsymbol{\mathbf{E}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{B}}&(1)\\\end{align}

\boldsymbol{\mathbf{s}}

就是坡印廷向量．

電磁場能量守恆積分形式

\begin{align}&\int_V \frac{\mathrm{d}{w}}{\mathrm{d}{t}} \,\mathrm{d}{V} + \frac{\partial}{\partial{t}} \int_V \rho_E \,\mathrm{d}{V} + \oint_\Omega \boldsymbol{\mathbf{s}} \boldsymbol\cdot \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{a}} } = 0&(2)\\\end{align}

選取任意的一個閉合曲面

\Omega

， 內部空間記為

V

， 以下三者之和為零．

電磁場對

V

中所有電荷做功的功率

V

中電磁場能量增加的速率

以及透過曲面

\Omega

流出的能量的速率

電磁場能量守恆微分形式

\begin{align}&\frac{\mathrm{d}{w}}{\mathrm{d}{t}} + \frac{\partial \rho}{\partial t} + \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\mathbf{s}} = 0&(3)\\\end{align}

空間中選取任意一點， 以下三者之和為零．

電磁場對電荷的功率密度

電磁場能量密度增量

能流密度散度

推導

類比電流的連續性方程

式 4

（即電荷守恆），若電磁場不對電荷做功，能量守恆可以寫成

\begin{align}&\frac{\partial \rho_E}{\partial t} + \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\mathbf{s}} = 0&(4)\\\end{align}

的形式．其中

\boldsymbol{\mathbf{s}}

是電磁場的能流密度（也叫

坡印廷向量

）（參考流密度）．但若再考慮上電磁場對電荷做功， 則還需要加上一項做功做功功率密度

\partial w/\partial t

， 即單位時間單位體積電磁場對電荷做的功）．

\begin{align}&\frac{\partial w}{\partial t} + \frac{\partial \rho_E}{\partial t} + \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\mathbf{s}} = 0&(5)\\\end{align}

第一項中電磁場對電荷做功即廣義洛倫茲力做功（功率密度）

\begin{align}&\frac{\partial w}{\partial t} = \boldsymbol{\mathbf{f}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{v}} = \rho ( \boldsymbol{\mathbf{E}} + \boldsymbol{\mathbf{v}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{B}} ) \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{v}} = \boldsymbol{\mathbf{j}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{E}}&(6)\\\end{align}

假設電磁場的能量守恆

式 5

成立， 那麼

\boldsymbol{\mathbf{j}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{E}} = - \partial \rho_E/\partial t - \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\mathbf{s}}

． 等式右邊只與場有關， 所以應該把電流密度

\boldsymbol{\mathbf{j}}

用麥克斯韋方程組替換成場的表示式， 即

\begin{align}&\boldsymbol{\mathbf{j}} = \frac{1}{\mu_0} \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \boldsymbol{\mathbf{B}} - \epsilon_0 \frac{\partial \boldsymbol{\mathbf{E}} }{\partial t}&(7)\\\end{align}

代入得

\begin{align}&\begin{aligned} \frac{\partial w}{\partial t} &= \left(\frac{1}{\mu_0} \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \boldsymbol{\mathbf{B}} - \epsilon_0 \frac{\partial \boldsymbol{\mathbf{E}} }{\partial t} \right) \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{E}} \\ &= \frac{1}{\mu_0} ( \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \boldsymbol{\mathbf{B}} ) \boldsymbol{\mathbf{E}} - \epsilon_0 \frac{\partial \boldsymbol{\mathbf{E}} }{\partial t} \boldsymbol{\mathbf{E}} \end{aligned}&(8)\\\end{align}

式 5

第二項中，

\rho_E

是電場能量密度和磁場能量密度之和， 即

\begin{align}&\begin{aligned} \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} ( \boldsymbol{\mathbf{B}} \boldsymbol\times \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} ) &= \boldsymbol{\mathbf{B}} ( \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} ) + (x \boldsymbol{\mathbf{\nabla}} ) \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{B}} - \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} ( \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\mathbf{B}} ) - ( \boldsymbol{\mathbf{B}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{\nabla}} ) \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} \\ &= (x \boldsymbol{\mathbf{\nabla}} ) \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{B}} = \frac{\partial \boldsymbol{\mathbf{B}} }{\partial x} \end{aligned}&(9)\\\end{align}

現在我們可以把

式 8

，

式 9

代入

式 5

中， 求出

\boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\mathbf{s}}

．

\begin{align}&\begin{aligned} \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\mathbf{s}} &= - \frac{\partial w}{\partial t} - \frac{\partial \rho_E}{\partial t} \\ &= -\frac{1}{\mu_0} ( \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \boldsymbol{\mathbf{B}} ) \boldsymbol{\mathbf{E}} + \epsilon_0 \frac{\partial \boldsymbol{\mathbf{E}} }{\partial t} \boldsymbol{\mathbf{E}} - \frac{\partial}{\partial{t}} \left(\frac12 \epsilon_0 \boldsymbol{\mathbf{E}} ^2 + \frac12 \frac{ \boldsymbol{\mathbf{B}} ^2}{\mu_0} \right) \\ &= - \frac{1}{\mu_0} ( \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \boldsymbol{\mathbf{B}} ) \boldsymbol{\mathbf{E}} - \frac{1}{\mu_0} \frac{\partial \boldsymbol{\mathbf{B}} }{\partial t} \boldsymbol{\mathbf{B}} \end{aligned}&(10)\\\end{align}

其中

( \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \boldsymbol{\mathbf{B}} ) \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{E}} = ( \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \boldsymbol{\mathbf{E}} ) \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{B}} - \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} ( \boldsymbol{\mathbf{E}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{B}} )

， 因為

\boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} ( \boldsymbol{\mathbf{E}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{B}} ) = ( \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \boldsymbol{\mathbf{E}} ) \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{B}} - ( \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \boldsymbol{\mathbf{B}} ) \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{E}}

（Gibbs 運算元相關公式）．代入得

\begin{align}&\begin{aligned} \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\mathbf{s}} &= - \frac{\partial w}{\partial t} - \frac{\partial \rho_E}{\partial t} \\ &= -\frac{1}{\mu_0} ( \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \boldsymbol{\mathbf{B}} ) \boldsymbol{\mathbf{E}} + \epsilon_0 \frac{\partial \boldsymbol{\mathbf{E}} }{\partial t} \boldsymbol{\mathbf{E}} - \frac{\partial}{\partial{t}} \left(\frac12 \epsilon_0 \boldsymbol{\mathbf{E}} ^2 + \frac12 \frac{ \boldsymbol{\mathbf{B}} ^2}{\mu_0} \right) \\ &= - \frac{1}{\mu_0} ( \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \boldsymbol{\mathbf{E}} ) \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{B}} - \frac{1}{\mu_0} \frac{\partial \boldsymbol{\mathbf{B}} }{\partial t} \boldsymbol{\mathbf{B}} + \frac{1}{\mu_0} \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} ( \boldsymbol{\mathbf{E}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{B}} ) \end{aligned}&(11)\\\end{align}

其中

\boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \boldsymbol{\mathbf{E}} = - \partial \boldsymbol{\mathbf{B}} /\partial t

， 代入得

\begin{align}&\boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\mathbf{s}} = \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} \left(\frac{1}{\mu_0} \boldsymbol{\mathbf{E}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{B}} \right)&(12)\\\end{align}

即

\begin{align}&\boldsymbol{\mathbf{s}} = \frac{1}{\mu_0} \boldsymbol{\mathbf{E}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{B}}&(13)\\\end{align}

這就是電磁場的能流密度．

事實上， 給

\boldsymbol{\mathbf{s}}

再加上任意一個散度為零的場，

式 12

都能滿足， 但為了簡潔起見， 一般寫成

式 13

．

標簽： 電磁場  做功  電荷  能流密度  能量 

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