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這道網紅題怎麼做？

作者：由陌染發表于舞蹈時間：2020-02-22

知乎使用者2020-02-23 12:36:26

2020年3月10日更新

怎麼這種偏僻的地方的回答都有這麼多人看。

題目：在銳角

$\triangle ABC$

中，

$\angle A$

、

$\angle B$

、

$\angle C$

的對邊分別是

、

、

，若

$3a^2+2ab\cos C=4b^2$

，求

$\sin C\cos B\tan A$

的最小值。

這其實是一道錯題

接下來進入正題，內容可能會引起不適

。

$\begin{align}\sin C\cos B\tan A &=\frac{c}{2R}\cdot\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}\cdot\frac{\frac{a}{2R}}{\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}}\\ &=\frac{c}{2R}\cdot\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}\cdot\frac{2abc}{2R(b^2+c^2-a^2)}\\ &=\frac{bc}{4R^2}\cdot\frac{a^2+c^2-b^2}{b^2+c^2-a^2}\\\ \end{align}$

由於

$a^2=\frac{3b^2+c^2}{4}$

$\begin{align}故原式 &=\frac{bc}{4R^2}\cdot\frac{\frac{3b^2+c^2}{4}+c^2-b^2}{b^2+c^2-\frac{3b^2+c^2}{4}}\\ &=\frac{bc}{4R^2}\cdot\frac{5c^2-b^2}{3c^2+b^2} \end{align}$

$\begin{align} 而4R^2 &=(2R)^2=\frac{a^2}{\sin^2A}=\frac{a^2}{1-\cos^2A}=\frac{a^2}{1-(\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc})^2}\\ &=\frac{\frac{3b^2+c^2}{4}}{1-(\frac{b^2+c^2-\frac{3b^2+c^2}{4}}{2bc})^2}=\frac{-16b^2c^2(c^2+3b^2)}{b^4-58b^2c^2+9c^4} \end{align}$

$\begin{align}故原式 &=\frac{bc(b^4-58b^2c^2+9c^4)}{-16b^2c^2(c^2+3b^2)}\cdot\frac{5c^2-b^2}{3c^2+b^2}\\ &=\frac{b^4-58b^2c^2+9c^4}{16bc(c^2+3b^2)}\cdot\frac{b^2-5c^2}{3c^2+b^2}\\ \end{align}$

由銳角三角形可得

$\begin{cases} b^2+c^2-a^2>0 \\ b^2+a^2-c^2>0 \\ a^2+c^2-b^2>0 \\ \end{cases}\Rightarrow\frac{\sqrt{21}}{7}<\frac{b}{c}<\sqrt{5}$

令

$t=\frac{b}{c}$

，則

$t\in(\frac{\sqrt{21}}{7},\sqrt{5})$

$\begin{align}故原式 &=\frac{t^4-58t^2+9}{16t(1+3t^2)}\cdot\frac{t^2-5}{3+t^2}\\ \end{align}$

令

$f(t)=\frac{(t^4-58t^2+9)(t^2-5)}{16t(1+3t^2)(3+t^2)}=\frac{-45 + 299 t^2 - 63 t^4 + t^6}{16(3 t + 10 t^3 + 3 t^5)}$

這裡其實我們已經從這

↑

發現

$\lim_{t \rightarrow \sqrt{5}}{f(t)}=0$

但是

。

我們來求導

$\begin{align} f$

令

$F(t)=135 + 2247 t^2 - 2882 t^4 - 3306 t^6 + 219 t^8 + 3 t^{10}$

令

$m=t^2(m\in(\frac{3}{7},5))$

，那麼令

$\begin{align} g(m)&=135 + 2247 m - 2882 m^2 - 3306 m^3 + 219 m^4 + 3 m^5\\ \end{align}$

，

，

，

，

$g(\frac{3}{7})=\frac{5308416}{16807}>0$

，

，

由於

在

上是連續的，並且最多隻有

個零點

那麼我們運氣很好，

的五個零點的區間都被我們找到了，分別是

$(-86,-85)，(-2,-1)，(-1,0)，(\frac{3}{7},1)，(13,14)$

據此我們可以畫出

草圖

所以在

$(\frac{3}{7},5)$

上存在唯一

使得

當

$m\in(\frac{3}{7},m_0)$

時，

，

，

，

單調遞增

當

$m\in(m_0,5)$

時，

，

，

，

單調遞減

故

的最小值應在端點處取到，但定義域為開區間，端點取不到。

就算取得到，

$f(\sqrt{5})=0$

，

$f(\frac{\sqrt{21}}{7})=\frac{4\sqrt{21}}{21}$

，顯然最小值為

？？？？

一臉茫然

其他文章

nixnewiem：高中數學三角函式公式大全，競賽高考都適用（含公式推導）nixnewiem：正弦定理與餘弦定理及其應用

Chain Rule2020-02-24 00:05:13

可以康康

素履以往：這個高中數學問題怎麼解？

wzd2020-03-02 12:51:19

題就是：

4a²-3b²=c²

Villanelle2020-05-20 00:25:00

還沒見過這種網紅題，應屆高考，希望不會遇到類似物吧

如果是考試的話取到0可能就寫了，但是作為一個虛假的數學愛好者還是應該嘗試一下。（方法用在本題不一定最好，一開始想見座標就先做了，手寫，如果有錯誤也歡迎大家指出來

好像沒找見目標和三角形本身性質的聯絡，純粹算一下試試。。

畫圖軟體的話。

綜上，以後遇見蒙就完了

knowone2020-05-20 14:04:01

當

時，令

$a=2,b=\sqrt{5-t},c=\sqrt{1+3t}$

，則容易驗證

以及

，因此

是滿足題目要求的銳角三角形的三邊。

$\cos B = \dfrac{8-4t}{4\sqrt{5-t}} > \dfrac{4}{4\sqrt{5}}$

，因此

$\sin C < \dfrac{2\sqrt{5}}{5}$

；

$\cos A = \dfrac{1+t}{\sqrt{5-t}\sqrt{1+3t}}>\dfrac{1}{2\sqrt{5} }$

，因此

$\sin A < \dfrac{\sqrt{19}}{2\sqrt{5}}$

，

$\tan A < \sqrt{19}$

；因此要求的量

$\sin C\cos B\tan A <\dfrac{2\sqrt{95}}{5}\cos B <4\dfrac{2t}{4\sqrt{1+3t}}<2t$

，當

$t\to 0$

時

$\sin C\cos B\tan A \to 0$

。但是顯然

$\sin C\cos B\tan A>0$

，因此

$\sin C\cos B\tan A$

沒有最小值，但是下確界為

。

標簽：最小值銳角三角 nixnewiem 高中數學端點

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