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等冪和問題(5)—— 3³+4³+5³=6³ 絕非巧合！

作者：由陳漱文發表于舞蹈時間：2021-12-15

昨晚（2021年12月13日），我第一次留意到以下問題：

《 3³+4³+5³=6³，只是個巧合嗎？ - 知乎》

當晚沒有想到什麼頭緒。

今天去谷歌搜了一下，看到 Quora 以下貼子：

Number Theory： What idea is hidden in the problem 3³+4³+5³=6³ ？

該貼子的兩個回答，大致相同：

【Quora回答1】

因此

$3^3+4^3+5^3=15^2−3^2=\cdots=6^3$

【Quora回答2】

$m^3+(m+1)^3+\cdots+(n−1)^3+n^3=\sum _{i=1}^{n} i^3-\sum _{i=1}^{m-1} i^3=(\frac{n(n+1)}{2})^2−(\frac{(m-1)m}{2})^2$

當

時，即

$15^2−3^2=\cdots=3^3+4^3+5^3=6^3$

一、第一波嘗試

Quota 的這兩個回答，可以理解為：是否存在兩個三角數，其平方差為立方數？

受此啟發，我決定看看，除了

和

以外，有沒有其他的兩個三角數，其平方差為立方數，即尋找以下不定方程的整數解：

$(\frac{n(n+1)}{2})^2−(\frac{(m-1)m}{2})^2=p^3\\$

很容易就在

$m<n\leq1000$

範圍內搜尋到15組解，相應於15組

$m^3+(m+1)^3+\cdots+(n−1)^3+n^3=p^3$

，即：

$3^3+4^3+5^3+\cdots+22^3=40^3$

$6^3+7^3+8^3+\cdots+30^3=60^3$

$15^3+16^3+17^3+\cdots+34^3=70^3$

$6^3+7^3+8^3+\cdots+69^3=180^3$

$11^3+12^3+13^3+\cdots+109^3=330^3$

$34^3+35^3+36^3+\cdots+158^3=540^3$

$291^3+292^3+293^3+\cdots+339^3=1155^3$

$213^3+214^3+215^3+\cdots+365^3=1581^3$

$556^3+557^3+558^3+\cdots+654^3=2805^3$

$213^3+214^3+215^3+\cdots+555^3=2856^3$

$273^3+274^3+275^3+\cdots+560^3=2856^3$

$646^3+647^3+648^3+\cdots+798^3=3876^3$

$406^3+407^3+408^3+\cdots+917^3=5544^3$

我把以上結果寫成原問題的回答：3³+4³+5³=6³，只是個巧合嗎？ - 知乎

算是勉強湊合的回答，不算滿意。

二、第二波嘗試

在用計算機搜尋以上15組結果時，我順便讓程式也列出

的值，原意是為了一眼看出上述等式的左邊有多少個連續自然數的立方，例如對於

，有

，故，

，即4個連續自然數

的立方和等於

的立方。

計算機列出上述15組結果相應的

分別是：

顯然，這15個

含有多個平方數

或立方數

，這一點本來不難理解，因為

$p^3=(\frac{n(n+1)}{2})^2−(\frac{(m-1)m}{2})^2=\frac{1}{4} (n-m+1) (m+n) \left(m^2-m+n^2+n\right)$

出於好奇，我嘗試看看是否還有更多的

也是立方數，於是令

，得

，重新執行搜尋程式（顯然，加了這樣的約束條件後，搜尋速度也大大加快）。

很容易就在

$m\leq100000, k\leq100$

範圍內搜尋到17組

$\{ m,k,p \}$

，如下：

第一組

$\{ m,k,p \} =\{ 6,4,180 \}$

，即

$6^3+7^3+8^3+\cdots+69^3=180^3$

，表示從

開始的連續

個自然數的立方和等於

；

第二組

$\{ m,k,p \} =\{ 34,5,540 \}$

，即

$34^3+35^3+36^3+\cdots+158^3=540^3$

，表示從

開始的連續

個自然數的立方和等於

；

第三組

$\{ m,k,p \} =\{ 213,7,2856 \}$

，即

$213^3+214^3+215^3+\cdots+555^3=2856^3$

，表示從

開始的連續

個自然數的立方和等於

；

接下來的14組

$\{ m,k,p \}$

分別是：

$\{ 406,8,5544 \}$

$\{ 1134,10,16830 \}$

$\{ 1735,11,27060 \}$

$\{ 3606,13,62244\}$

$\{ 4966,14,90090 \}$

$\{ 8790,16,175440 \}$

$\{ 11368,17,237456 \}$

$\{ 18171,19,413820 \}$

$\{ 22534,20,534660 \}$

$\{ 33558,22,860706 \}$

$\{ 40381,23,1074744 \}$

$\{ 57084,25,1630200 \}$

$\{ 67150,26,1983150 \}$

$\{ 91206,28,2872044 \}$

最後這一組即

$91206^3+91207^3+91208^3+\cdots+113157^3=2872044^3$

，表示從

開始的連續

個自然數的立方和等於

。

這是令人既興奮又困惑的計算機搜尋結果，一方面，每個

值都只出現一次而且

和

都隨

單調遞增，表明三者之間一定有明顯規律；另一方面，

都不含

的倍數，這還勉強可以理解，但

為何 #FormatImgID_84# 不可能等於 #FormatImgID_85# 實在令人費解！

三、第三波嘗試

為了找到更普遍的規律，並弄清楚為何

既不能為

的倍數也不能為

，我打算嘗試尋找

和

關於

的式子。當晚把上面第二波得到的17組

$\{ m,k,p \}$

嘗試擬合，運氣不錯，折騰一番後得到以下結果：

$m=\frac{1}{6} \left(k^4-3 k^3-2 k^2+4\right)$

$p=\frac{1}{6} k \left(k^4+k^2-2\right)$

滿足：

$\sum _{i=m}^{k^3+m-1} i^3=p^3$

，即

$\sum _{i=\frac{1}{6} \left(k^4-3 k^3-2 k^2+4\right)}^{\frac{1}{6} \left(k^4+3 k^3-2 k^2-2\right)} i^3=\left(\frac{1}{6} k \left(k^4+k^2-2\right)\right)^3$

經整理後得到以下恆等式（感謝 @王惠菡在評論區給的建議）：

$\Large \sum _{i=1}^{k^3} (\frac{k^4-3 k^3-2 k^2-2}{6} +i)^3=(\frac{k^5+k^3-2 k}{6} )^3 \\$

我們嘗試把

代入，有

$\sum _{i=1}^{3^3}(-\frac{10}{3}+i)^3=(-\frac{10}{3}+1)^3+(-\frac{10}{3}+2)^3+(-\frac{10}{3}+3)^3+\cdots+(-\frac{10}{3}+3^3)^3=44^3$

即從

$-\frac{10}{3}+1$

開始連續

個相差為

的有理數的立方和為

。

我們嘗試把

代入，有

$\sum _{i=1}^{6^3}(\frac{287}{3}+i)^3=(\frac{287}{3}+1)^3+(\frac{287}{3}+2)^3+(\frac{287}{3}+3)^3+\cdots+(\frac{287}{3}+6^3)^3=1330^3$

即從

$\frac{287}{3}+1$

開始連續

個相差為

的有理數的立方和為

。

同理，

為任意

的倍數是也是類似結果，謎團之一解開了。

最後，我們試試把

代入，令我驚訝的結果出現了！

此時

，有

即從

開始

個連續整數的立方和為

。最後的謎團終於也解開了！

簡化這個式子，得到

這樣就回到最初的知乎問題《 3³+4³+5³=6³，只是個巧合嗎？ - 知乎》

而本文的回答是：

3³+4³+5³=6³ 絕非巧合！

標簽：立方 15 嘗試自然數知乎

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