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基礎物理學整理7（第9集：旋轉1）

作者：由張工場發表于舞蹈時間：2022-01-13

之前的物理課程，基本上將運動物體視為“點”，並不考慮物體形狀，因此物體運動表現為“平移”。但現實中，物體有各種形狀，在運動過程中除了會做“平移”運動外，還會有旋轉。這裡只學習“剛體”的旋轉，即在旋轉過程中不發生其他變化的物體。像一團爛泥在旋轉過程中泥巴會四處飛濺，這種情況就更復雜了。所以，剛體的旋轉是相對簡單的旋轉。

如圖，在旋轉過程中，剛體的不同部分物質的線速度是不一樣的，但他們的角速度是一致的。因此，這裡需要用到角速度的相關知識。首先整理一下角速度和線速度的關係。

角速度記作

$\omega$

，角加速度記作

$\alpha$

，角度（弧度）記作

$\theta$

，這三者的關係完全等同於直線運動中的路程，速度和加速度。比如：

$\omega=\frac {d\theta}{dt}$

，

$\alpha =\frac {d\omega }{dt}$

。因此，可以對照直線運動的路程和速度及加速度的關係式，得出角速度，角度和角加速度的關係式，比如：在角加速度是常數的情況下，

$\theta=\theta_0+\omega_0t+\frac 12\alpha t^2$

；

$\omega=\omega_0+\alpha t$

；

$\omega^2=\omega_0^2+2\alpha (\theta-\theta_0)$

。

另外，如圖，點

走過的路程和兩個因素成正比，一個是角度，一個是圓半徑，因此可得：

$\Delta s=r\Delta \theta$

。點

的切線速度為：

$v_T=\frac {\Delta s}{\Delta t}=r\frac {\Delta \theta}{\Delta t}=r\omega$

。另外，線加速度和角加速度的關係同樣是：

$a=r\alpha$

，一如前面路程和角度的關係，線速度和角速度的關係。但要注意的是，這裡的線加速度是

。因為在圓周運動中，本身還存在一個向心加速度，即

。這個其實很好理解，因為只要旋轉，就會產生向心加速度，但角加速度只有在旋轉的角速度變化的情況下才產生。這個角速度變化對應的就是線速度大小的變化，而不僅僅是方向的變化，因此對應的是

。

把剛體分解為無數個小顆粒，可得每個小顆粒的動能為：

$\Delta K=\frac 12m_iv_i^2=\frac 12m_ir_i^2\omega^2$

總的動能就是對每個小顆粒的動能進行求和，即：

$K=\sum \frac 12m_ir_i^2\omega^2=\frac 12\omega^2\sum m_ir_i^2$

注意，這裡的

和

都是變數，但是

$\omega$

對於任意小顆粒而言，都是定值。每個小顆粒的角速度都是一樣的。

令

$\sum m_ir_i^2=I$

，可得：

$K=\frac 12I\omega^2$

這裡，這個動能的表示式又類似於直線運動中

$K=\frac 12mv^2$

。這個類似於質量的

，稱為moment of inertia，意思是：a measure of resistance to changes in angular speed。也就是說，

在轉動中的作用，類似於直線運動中的質量。但是，moment of inertia不完全取決於質量，還取決於

，即小顆粒和轉軸之間的距離。假如所有的物質都集中在轉軸，意味著

，那麼

。反之，同樣的質量，但大質量分佈在距離轉軸最遠的邊緣，意味著

值很大。最經典的例子是，MIT的教授站在一個轉盤上，當轉動的時候，他的雙臂自然垂放和手臂張開成一字型，這裡的

是不一樣的，從而影響轉動的速度。但是反過來，如果是剛體的話，因為物質不移動，因此，剛體的

是個定值，前提是轉軸固定的情況下。如果更換一個轉軸，那麼剛體的

需要重新計算。也就是說，moment of inertia都是相對於某個轉軸而言的。

在平移運動中，存在動量

；在轉動中也存在類似的角動量

$L=I\omega$

。此外，平移運動中最重要的一個公式：

$F=ma=\frac {dp}{dt}$

；在轉動中的對照公式為：

$\tau =I\alpha=\frac {dL}{dt}$

。但是在轉動中，這個對應平移運動中“力”的

$\tau$

，又是什麼東西呢？

我們先假設一個力施加於一個物體，使其旋轉，可得：

$\Delta W=Fd=Fr\Delta \theta$

（注意這裡的

$\theta$

不是下圖中的角度，而是前面討論的旋轉中的角度，另外，這裡的

$\Delta W$

是tiny work，就是說

即使變化，細分到一定程度後視為在該階段的力是常數值）。根據“整理3“的功能定理，，

$\Delta K=\Delta W=Fr\Delta \theta$

。這裡的

$\Delta K$

是動能差，而不是tiny kinetic。

又，

$\Delta K=\frac 12I(\omega^2-\omega_0^2)$

，

$\omega^2=\omega_0^2+2\alpha (\theta-\theta_0)$

（這裡有個同樣的問題，第二個公式的前提是

$\alpha$

是常數，但是隻要時間段足夠小就可以視為常數），可得：

$\Delta K=\frac 12I2\alpha\Delta \theta=I \alpha\Delta \theta$

。可得：

$I\alpha=Fr$

。這裡要注意的是，從最開始

$\Delta W= Fd$

中的

是和

方向相同的（分）力，因此最後得到的

$\tau=Fr$

，準確的說應該是

$\tau =Frsin\theta$

，即是垂直於

的分力。（物體受力發生旋轉，

$\Delta W= Fd$

。這裡的

實際上是一個弧度，把弧度細分，每一小段的弧度接近直線，方向就是該弧度的切線方向，垂直於半徑，從這個角度也可以理解

$F_{\perp}$

。）

也就是說，在轉動中，

$F_{\perp}r=I\alpha$

類似於

。這個實際上是很符合直觀的結論，即影響旋轉加速度的，一個是力的大小，另一個是距離轉點的距離。扳手/門把手等都運用了這個結論。這個

$F_{\perp}r$

因為在旋轉中如此重要，類似於平移中的

，因此特別賜予名姓，稱為torque（轉鉅），記作

$\tau$

。如果存在多個力作用，則

$\tau =\sum F_ir_isin\theta_i$

。

這裡教授有一個補充說明，就是這裡所說的力是外力。比如我用手推一根杆子使杆子繞軸點轉動，手只接觸到杆子一部分，但整根杆子都在轉動，是因為杆子內部互相在作用，另外杆子繞固定軸轉動的話，固定軸對杆子也有作用力（但是固定軸對杆子的作用力，因為相對轉動而言是沒有位移的，或者說

，因此做功為零），因此內部力是非常複雜的。但是從能量的角度考慮會簡單很多，因為只需要考慮外力。能量守恆是基於運動公式和牛二定律推匯出來的，因此包括推匯出來的功能定律，涉及的力都是外力。

現在可得：類似於平移運動的

$\Delta W=Fdx$

，在旋轉中，

$\Delta W=Fr\Delta \theta=\tau \Delta \theta$

。

最後還有一個計算

的問題，這裡略，見“筆記7”。這裡記幾個結論：

圓環：

$I=(\sum_i \Delta m_i)R^2=MR^2$

圓盤：

$I=\frac {MR^2}2$

以上軸點都在圓心。

直杆：若軸點在直杆的一端，則

$I=\frac {ML^2}{3}$

，若軸點在中心，則

$I=\frac {ML^2}{12}$

。

理解：

$I=\sum m_ir_i^2$

。一個同質量的物體，如果更多質量靠近軸心，則

小，反之

大。圓環和圓盤相比，如果同質量，意味著圓環的質量均集中在最外側，因此圓環的

更大。對直杆而言，軸點在一端，較之軸點在中心，意味著遠離軸心的質量更多，因此軸點在一端的

更大。

標簽：旋轉角速度轉動這裡杆子

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