您當前的位置：首頁 > 舞蹈

三大招輕鬆快速解決有理函式積分的拆解

作者：由 Cheers 發表于舞蹈時間：2021-09-17

有理函式積分拆分方法總結

定義

形如

$\int \frac{P_{n}(x)}{Q_{m}(x)} \mathrm{d} x(n<m)$

的積分稱為有理函式的積分，其中

$P_{n}(x), Q_{m}(x)$

分別是

的

次多項式和

次多項式。

方法

先將

$Q_{m}(x)$

因式分解，再把

$\frac{P_{n}(x)}{Q_{m}(x)}$

拆成若干幹最簡有理分式之和。

這裡的思想就是化整為零，化繁為簡，然後逐個擊破，因為化成的分式很容易求得其積分值

這裡注意有理函式拆分時應化為真分式，且分母最高次項係數為1的情況。

分類：

單根情況

重根情況

複數根

以上是有理函式積分中遇到的所有情況。

這是單根和重根的拆分規律

這是複數根的拆分規律

下面透過例子來說明如何拆分

1、單根情況

例1：

$\frac{x+1}{x^{2}-5 x+6}$

按照有理函式拆分原則將該分式拆為：

$\frac{x+1}{x^{2}-5 x+6}=\frac{x+1}{(x-2)(x-3)}=\frac{A}{x-2}+\frac{B}{x-3} \tag{1}$

那麼如何快速確定A、B的值呢？我們先以求解A為例，最後再總結一下規律。

首先等式兩端同乘以A的分母，化成如下式子

$\frac{x+1}{(x-3)}={A}+\frac{B(x-2)}{x-3} \tag{2}$

然後令X=2，B那一項就等於0了，可以得到

$A=\frac{2+1}{2-3}{=-3} \tag{3}$

同理求B。

下面總結一下單根的情形。

$\frac{1}{(x-a)(x-b)}=\frac{A}{x-a}+\frac{B}{x-b}$

計算A值時，將左式中的分母劃去右式中A係數所表示的分母

，並代入a值，即

${A=\displaystyle \lim_{x \rightarrow a}{ \frac{1}{x-b} } }$

計算B值時，將左式中的分母劃去右式中B係數所表示的分母

，並代入b值，即

${B=\displaystyle \lim_{x \rightarrow b}{ \frac{1}{x-a} } }$

2、重根情況

例2：拆分

$\frac{1}{(x+1)^{3} x}$

按照有理函式拆分原則將該分式拆為：

$\frac{1}{(x+1)^{3} x}=\frac{A_{1}}{x+1}+\frac{A_{2}}{(x+1)^{2}}+\frac{A_{3}}{(x+1)^{3}}+\frac{B_{1}}{x} \tag{4}$

這裡有四個未知數，我們先來觀察左邊的式子，左邊分母中是

$(x+1)^{3}$

和

的組合，正好是

$A_{3}$

和

$B_{1}$

的分母，所以這兩個未知數，可以應用上面的方法，兩邊等式同乘以分母，我們就只舉例算一個

$A_{3}$

兩邊同乘

$(x-1)^{3}$

，得到等式

$\frac{1}{ x}=\frac{A_{1}(x+1)^{3}}{x+1}+\frac{A_{2}(x+1)^{3}}{(x+1)^{2}}+{A_{3}}+\frac{B_{1}(x+1)^{3}}{x} \tag{5}$

此時令

，其餘項都為0，只剩

$A_{3}=-1$

同理，我們可以直介面算求得出

$B_{1}$

=1

那麼

$A_{1}$

和

$A_{2}$

如何計算呢？

首先我們肯定不能用上面的方法了，因為這樣左式的分母消滅不完，使得它分母為0沒有意義。

這時我們可以考慮運用極限的思想，比如我們計算

$A_{1}$

時，我們在等式兩端同乘

，然後令等式兩端的

均趨向於

由此等式化簡為

$\frac{1}{(x+1)^{3} }=\frac{A_{1}x}{x+1}+\frac{A_{2}x}{(x+1)^{2}}+\frac{A_{3}x}{(x+1)^{3}}+{B_{1}} \tag{6}$

$0=A_{1}+B_{1} \tag{7}$

已知

$B_{1}=1$

，可求得

$A_{1}=-1$

這樣我們還剩下最後一個未知數

$A_{2}$

，我們先來嘗試一下上面的這種做法

計算

$A_{2}$

時，在等式兩邊同乘

$x^{2}$

，並令

均趨向於

由此將等式

$\frac{1}{(x+1)^{3} x}=\frac{A_{1}}{x+1}+\frac{A_{2}}{(x+1)^{2}}+\frac{A_{3}}{(x+1)^{3}}+\frac{B_{1}}{x} \tag{4}$

化簡為

$\frac{x}{(x+1)^{3} }=\frac{A_{1}x^{2}}{x+1}+\frac{A_{2}x^{2}}{(x+1)^{2}}+\frac{A_{3}x^{3}}{(x+1)^{3}}+{B_{1}x} \tag{9}$

此時如果令

是計算不出來結果的。

這時可以採用另一種方法—特值法，令

為一個特定整數，因為此時只有一個未知數，所以很好求解，例如這兩個式子，我們可以令

，並且將求解得出的

$A_{1}$

、

$A_{3}$

、

$B_{1}$

帶入等式中。

$\frac{1}{8}=\frac{-1}{2}+\frac{A_{2}}{4}-\frac{1}{8}+1 \tag{10}$

解得

$A_{2}=-1$

因此，當上述常規操作沒有辦法的時候，利用特值法可以靈活地求解。

3、復根情況

例3：拆分

$\frac{x+2}{(2 x+1)\left(x^{2}+x+1\right)}$

按照部分分式原則，該有理分式可拆分為，

$\frac{x+2}{(2 x+1)\left(x^{2}+x+1\right)}=\frac{A}{2 x+1}+\frac{B x+C}{x^{2}+x+1} \tag{11}$

觀察等式左邊的式子中含有A的分母

，因此還是等式兩邊同乘

，可得等式

$\frac{x+2}{\left(x^{2}+x+1\right)}={A}+\frac{(B x+C)(2x+1)}{x^{2}+x+1} \tag{12}$

令

$x=-\frac{1}{2}$

，帶入等式求解可得

接下來主要求解

和

求解B我們可以利用

的方法，等式兩邊同乘x；

$\frac{(x+2)x}{(2 x+1)\left(x^{2}+x+1\right)}=\frac{Ax}{2 x+1}+\frac{(B x+C)x}{x^{2}+x+1} \tag{13}$

令

，等式化為

$0=\frac{A}{2}+B \tag{14}$

解得

$B=-\frac{A}{2}=-1$

；

最後的一個未知數

，我們祭出大招—特值法，找一個簡單的數帶入，透過觀察，我們令

，將等式化簡為

$2=A+C \tag{15}$

解得

總結

一、觀察有理函式根的情況，屬於是單根還是重根還是複數根，根據拆分規則正確拆分

二、求解拆分的未知數時，主要考慮三種方法

兩邊同乘某個未知數的分母，然後令x取能讓其未知數分母為0的值

等式兩邊同乘x，令x→+∞

特值法（最後的大招）

有關有理函式的拆分分享方法到這裡結束了，下面準備更新自動控制理論的離散部分還有機器學習相關的知識點。

感謝大家耐心的讀到這裡，如果對你有所幫助，請記得點贊和收藏！

標簽：等式分母拆分有理函式同乘

上一篇:我喜歡蹦迪男朋友接受不了怎麼辦？

下一篇：視覺化圖表系列--點圖指北

猜你喜歡