為什麼量子力學中，連續譜對應的是散射態，而分離譜對應的是束縛態？

作者：由 KOBE 發表于文化時間：2019-08-29

盧健龍2019-09-05 14:29:45

不需要『嚴格的或不嚴格的證明』，因為題目中那個模糊的表述『量子力學中連續譜對應的是散射態，而分離譜對應的是束縛態』本身就是不對的，可以很容易地給出反例，除非再加入一些限定條件。

一個最簡單最平凡的反例就是

自由粒子

的自旋，在這個例子中自旋算符的譜就是離散的，但並不對應束縛態。

我們還可以構造另一個稍微比較不平凡一點但是一樣很簡單的反例：給一維空間加上週期性條件，使得它變成一個有限無界的空間。在這個空間中由於

自由粒子

的波函式

$\psi(x,t)$

必須滿足

$\psi(x+L,t)=\psi(x,t)$

，因此薛定諤方程

$i\hbar\frac{\partial \psi(x,t)}{\partial t}=-\frac{\hbar^{2}}{2m}\nabla^{2}\psi(x,t)$

的解

$\psi_{p}(x,t)=Ae^{-i(Et-px)/\hbar}$

滿足

$p=n\frac{2\pi\hbar}{L},\ \ \ (n=1,2,3,...)$

以及

$E=\frac{p^{2}}{2m}=n^{2}\frac{2\pi^{2}\hbar^{2}}{mL^{2}},\ \ \ (n=1,2,3,...)$

。在這個例子中，動量算符和能量算符的譜都是離散的，但並不對應著束縛態。

知乎使用者2019-09-08 03:39:53

不算嚴謹的證明，算說明吧。不如高票答案那樣形式化，但很物理很實用。

原因是邊界條件。

束縛態的邊界條件是粒子不會出現在無窮遠處。但取定能量本徵值，從有限的初始條件往無窮遠處外推，由解的唯一性定理，結果是唯一的。所以為了讓無窮遠處的粒子出現機率為零，就只有離散的能量取值。沒錯，我說的就是shooting method解方程的過程。

散射態的無窮遠邊界條件比較自由，沒那麼多限制，因此隨便取。

標簽：束縛態算符反例邊界條件粒子

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