將線性代數形象化（五） · 點積、叉乘與對偶性

作者：由莫比烏斯環的灰燼發表于文化時間：2018-01-31

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前言：最近因為思考一些問題需要用到線代，然後在B站上找到了一個不錯的線代講解系列影片，特點在於將線性代數中常見的行列式、向量、矩陣、點積、叉乘、特徵向量等等形象直觀地表現出來，作者也是花了很大的心思，通俗易懂（雖然有些影片我看了兩遍才懂。。。）在以前的學習中，線代一上來就是各種計算，得到一個結果就完事了。具體為什麼要這麼算，這麼算的意義在哪，一無所知。因此在看的過程中懂了以前很多沒懂的點，也從另一個角度更好地理解了線代。為了在自己腦裡形成一個更清晰的脈絡，所以也嘗試整理一下，包括自己以前踩過的坑以及自己的思考領悟，主要參考該系列影片。如果我不偷懶並且順利的話，預計一個月填完吧~~

影片連結：

【官方雙語/合集】線性代數的本質 - 系列合集

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【點積（又叫內積、數乘等名字）】

向量點積的計算方法

對應座標相乘後求和，結果為一個數字

$\vec{v}\cdot \vec{w}=\Sigma_{i}(v_{i} w_{i})$

向量點積的幾何意義

$\vec{v}$

在

$\vec{w}$

上的投影長度乘上

$\vec{w}$

本身的長度；或者

$\vec{w}$

在

$\vec{v}$

上的投影長度乘上

$\vec{v}$

本身的長度。可以用我們所熟知的三角函式來計算：

$\vec{v}\cdot \vec{w}=||\vec{v}||\cdot||\vec{w}||cos\theta$

座標相乘與投影的聯絡

詭異的是，直觀上來說，座標相乘與投影完全看不出有任何聯絡，然而它們卻實實在在相等。背後到底有怎樣深層的聯絡呢？我們需要求助於

對偶性

。

【對偶性】

高維空間到一維空間的壓縮

嚴格來說，這部分內容不是對偶性的內容。但是作為引出對偶性概念的前置部分，我也統一放在對偶性裡講了。

我們發現，將高維空間壓縮到一維空間，即數軸後，所有向量都可用一個確定的數字表示。也就是說，基向量此時也是由單個數字表示。我們知道，單個數字乘以向量，這個數字可以看成是縮放比例係數。那是不是意味著，此時基向量也可以看作是縮放比例係數呢？我們來用一個具體的例子考察一下。例子取自影片。

假設在xy座標系下有一個向量

$\vec{v}=\left[\begin{array}{a}4\\3\end{array}\right]$

。線性變換後xy平面被壓縮到數軸上了，此時基向量

$\hat{i}=1,\hat{j}=-2$

。根據線性組合，變換後的向量為

$\vec{v$

。我們可以換種寫法：

$\left[\begin{array}{aa}1&-2\end{array}\right]\left[\begin{array}{a}4\\3\end{array}\right]=1\times 4+(-2)\times 3$

於是，我們驚喜地發現，這就是我們熟悉的矩陣乘法！由此，我們也可以看出

$\left[\begin{array}{c}1\\-2\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}4\\3\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}1&-2\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}4\\3\end{array}\right]$

好了，這意味著

矩陣向量乘積

與

向量點積

之間有著某種神秘的聯絡。也即，將向量轉化為數的線性變換跟向量本身有著聯絡。

投影矩陣

接下來，忘掉我們之前所有的計算點積的方法。我們假設將xy平面線性變換後，空間壓縮到向量

$\hat{u}$

所在的數軸上，且

$\hat{u}$

為基向量。將xy平面投影到數軸

$\vec{u}$

上的矩陣，我們稱為投影矩陣。如何確定投影矩陣的值呢？影片裡給出了一個很巧妙的方法，利用對稱軸。

如上圖所示，

$\hat{u}$

到

$\hat{i}$

的投影所構成的三角形，與

$\hat{i}$

到

$\hat{u}$

的投影所構成的三角形，是全等三角形。因此，

$\hat{i}$

在

$\hat{v}$

上的投影為

；同理

$\hat{j}$

在

$\hat{u}$

上投影為

。因此，投影矩陣為

$\left[\begin{array}{cc}u_x&u_y\end{array}\right]$

。空間中任意向量經過投影變換的結果，也就是投影矩陣與這個向量相乘的結果。幾何意義就是該向量投影到變換後的數軸上的長度與自身的長度相乘。於是，座標相乘與投影就被聯絡起來了。

整理一下，我們用從二維空間向數軸的投影來定義二維到一維的線性變換。由於變換是線性的，則必然存在一個

$1\times 2$

的投影矩陣來描述這個變換過程。而投影矩陣與向量的乘積剛好又與轉置矩陣（向量）乘積相同。因此，這個投影變換必然與某個二維向量對應。

對偶性

這裡實質上已經用到了對偶性的思想了。影片裡，作者說對偶性是兩個數學事物之間存在的自然而又出乎意料的關係。也就是說，兩個向量的點積，利用向量與線性變換的對偶關係，相當於把其中一個向量看作是變換矩陣。（感興趣的朋友，請移步這裡

對偶（數學）-維基中文

）

於是乎，我們可以進一步地理解向量的本質，“線性變換的物質載體”（原文為“as the physical embodiment of a linear transformation”）

【叉乘】

//首先說明一下，影片裡前半段講的不是叉乘，不是叉乘，不是叉乘。但因為跟叉乘有比較密切的關係，所以建議先把“我學的難道是假叉乘？”這類問題先放一放，認真看下去。

記得當年大一學普物第一次接觸叉乘時，我是懵逼的。叉乘公式好端端的一個

$\vec{a}\times \vec{b}=||\vec{a}||\cdot||\vec{b}||sin\theta$

，怎麼算出來就成了一個垂直於

$\vec{a}\vec{b}$

平面的向量呢？當然這個問題一直沒解決（主要是我懶。。。並且不理解這個不影響做題==）嗯，我也就是這幾天才弄懂這個問題的，順便發現自己在大三學材料結構時曾無意中用到了叉乘的計算方法23333。

嚴格來講，

$||\vec{a}||\cdot||\vec{b}||sin\theta$

計算的是

$\vec{a}$

與

$\vec{b}$

所形成的平行四邊形的面積。如果還記得行列式的幾何意義的話，不難發現這個值就是

$\vec{a}$

$\vec{b}$

所構成的矩陣的行列式的值。前面說過，行列式是有正負的，代表有向面積。那麼，是否可以猜想，叉乘後得到的向量指向，就是這個面積的方向呢？如果是的話，那麼我們可以

運用右手法則來判定結果向量的方向，向量的大小即平行四邊形的面積大小

。（注意，這裡跟影片講解的順序不一樣，因為個人認為影片裡有點冗餘，所以按照我的理解來重新組織了）也就是說，我們就可以寫成

$\vec{v}\times \vec{w}=\vec{p}$

的形式了。

先來考察下叉乘的計算公式：

（直接擷取影片的圖，我懶得打公式。。。）

好了，這麼一堆乘式減法，強記的話很容易記混，反正我記不住==。大三時晶體結構曾經也有幾條這樣的公式算方向的（上面右邊矩陣的一行相當於一條公式，具體長啥樣不記得了，書早被我扔到不知哪裡去了。。。），為了記住它，我很偶然地發現每一條公式都很像行列式的交叉相減，然後在第一行將基向量加上後，居然對上了。於是我就愉快地用一個矩陣輕鬆地記住了三條公式~

上面的思路其實是不自覺地用到了叉乘的思想了哈哈~寫成矩陣的行列式形式是下圖這樣的：

這樣的話，計算就方便多了。但是有個問題就是，為什麼第一列是放基向量組呢？而不是向量

$\left[\begin{array}{ccc}1&1&1\end{array}\right]$

或是

$\left[\begin{array}{ccc}1&0&0\end{array}\right]$

呢？這就需要用到上面提到的對偶思想了。

首先我們先引入一個未知向量

$\vec{x}$

，它與

$\vec{v}$

跟

$\vec{w}$

形成的平行六面體的體積就是行列式

$\vec{x}\cdot (\vec{v}\times \vec{w})=det(\left[\begin{matrix} x&v_1&w_1\\ y&v_2&w_2\\ z&v_3&w_3 \end{matrix}\right])$

它是線性的，所以，根據“線性變換隻不過是函式的另一個名字”這種說法，我們可以寫成

$f(\left[\begin{array}{c}x\\y\\z\end{array}\right])=det(\left[\begin{matrix} x&v_1&w_1\\ y&v_2&w_2\\ z&v_3&w_3 \end{matrix}\right])$

由於行列式的結果是一個數字，所以函式

相當於把一個三維向量對映到了數軸上。好了，類似的說法我們在上面的點積對偶性裡說過，所以，

必定存在一個投影矩陣，它的對偶向量與未知向量 #FormatImgID_51# 的點積就是右邊行列式的值

。（這一步是理解的關鍵，運用了對偶性）

這樣做以後，我們假設這樣一個投影矩陣為

$\vec{p}$

。即

$\left[\begin{array}{c}p_1\\p_2\\p_3\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{c}x\\y\\z\end{array}\right]= det(\left[\begin{matrix} x&v_1&w_1\\ y&v_2&w_2\\ z&v_3&w_3 \end{matrix}\right])$

單純從計算角度來說，利用待定係數的思維，可以得到

$\begin{equation} \left\{\begin{aligned} p_1=v_2\cdot w_3-v_3\cdot w_2\\ p_2=v_3\cdot w_1-v_1\cdot w_3\\ p_3=v_1\cdot w_2-v_2\cdot w_1 \end{aligned} \right. \end{equation}$

這也就是向量叉乘的結果。

從幾何意義上看，

$\left[\begin{array}{c}p_1\\p_2\\p_3\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{c}x\\y\\z\end{array}\right]$

是

$\vec{x}$

在

$\vec{p}$

上的投影長度乘上

$\vec{p}$

自身的長度；而對於平行六面體的體積，可以看作是

$\vec{v}$

與

$\vec{w}$

形成的平行四邊形面積乘上

$\vec{x}$

垂直於該平面的分量。那麼，只要我們讓向量

$\vec{p}$

垂直於

$\vec{v}\vec{w}$

平面，

求 #FormatImgID_64# 垂直於該平面的分量就等價於求 #FormatImgID_65# 在 #FormatImgID_66# 上的投影長度

。（這樣，也就順便解釋了為什麼

$\vec{p}$

要與

$\vec{v}\vec{w}$

垂直。看到這裡，不得不感嘆一句數學真美！）於是乎，叉乘就這樣被我們神乎其技地用幾何與點積聯絡起來了。所以，向量叉乘

$\vec{v}\times \vec{w}$

的含義就是，找到這樣一個向量

$\vec{p}$

，使得它與未知向量

$\vec{x}$

相乘後，得到的是平行六面體的體積，該平行六面體的體積的計算行列式第一列、第二列、第三列分別為

$\vec{x}$

、

$\vec{v}$

、

$\vec{w}$

。（

$\vec{p}$

的方向即高的方向，其長度等於平行四邊形的面積）

【計算性質】

點積

參照

數量積-維基中文

，點積部分計算性質如下：

點積滿足交換律：

$\vec {a}\cdot \vec {b}=\vec {b}\cdot \vec {a}$

點積滿足分配率：

${\vec {a}}\cdot ({\vec {b}}+{\vec {c}})={\vec {a}}\cdot {\vec {b}}+{\vec {a}}\cdot {\vec {c}}$

點積是個雙線性運算元：

${\vec {a}}\cdot (r{\vec {b}}+{\vec {c}})=r({\vec {a}}\cdot {\vec {b}})+({\vec {a}}\cdot {\vec {c}}）$

在乘以一個標量的時候點積滿足：

$(c_{1}{\vec {a}})\cdot (c_{2}{\vec {b}})=(c_{1}c_{2})({\vec {a}}\cdot {\vec {b}})$

解釋：

根據對偶性，向量可相互作為對方的投影矩陣，所以與順序無關，滿足分配率。

就是把一個向量拆分了，只要投影矩陣相同（都為

$\vec{a}$

），結果相同

$\vec{b}$

的縮放不影響

$\vec{a}$

到

$\vec{b}$

方向的投影。剩下證明同2。

首先把

$(c_{1}\vec{a})$

看作是一個整體的向量，運用3前半部分可證明；再將

$(c_2\vec{b})$

看作是一個整體向量，同理可證。兩者合併，得證。

叉乘

參照

叉積-維基中文

，叉乘部分運算性質如下：

$\vec {a} \times \vec {a} =\vec {0}$

$\vec {a} \times \vec {0} =\vec {0}$

$\vec{a} \times \vec {b} =-(\vec {b} \times \vec{a}）$

（反交換律）

$\vec{a} \times (\vec{b} +\vec{c} )=\vec{a} \times \vec{b} +\vec{a} \times \vec{c}$

（加法的左分配律）

$(\vec{a} +\vec{b} )\times \vec{c} =\vec{a} \times \vec{c} +\vec{b} \times \vec{c}$

（加法的右分配律）

$(\lambda \vec{a} )\times \vec{b} =\lambda (\vec{a} \times \vec{b} )=\vec{a} \times (\lambda \vec{b} )$

解釋：

向量重合，平行四邊形面積為0；

任何向量與零向量均構不成平行四邊形；

右手法則；

平行六面體拆分疊加；

同上；

其中一個向量的縮放比例等於平行四邊形面積的縮放比例

【小結】

高維空間到一維空間的投影矩陣，可看成一個向量（對偶性）

點積，實質上就是高維空間到一維空間的投影

叉乘，實質上就是求滿足給定體積和底面積的平行六面體的高

叉乘方向用右手定則判定

點積與叉乘背後有著聯絡

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本系列其他文章：

將線性代數形象化（一）· 向量

將線性代數形象化（二）· 矩陣與線性變換

將線性代數形象化（三） · 行列式

將線性代數形象化（四） · 逆矩陣、列空間與秩

將線性代數形象化（六） · 基變換與相似矩陣

將線性代數形象化（七） · 矩陣的特徵

將線性代數形象化（八） · 抽象向量空間&向量概念的擴充套件

將線性代數形象化番外篇高維空間形象化

標簽：向量投影矩陣點積對偶性

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將線性代數形象化（五） · 點積、叉乘與對偶性

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