向量複習（一）
首先，我們先來複習一下二維空間幾何求交涉及的向量相關知識，方便那些數學基礎不太好或好多年未接觸數學的童鞋們。樓主就是其中一員哦，6-7年沒有再碰高中數學了，所以對於向量比較熟悉的童鞋可以跳過這部分內容。
1. 向量的定義
在數學中，向量（也稱為歐幾里得向量、幾何向量、向量），指具有大小（magnitude）和方向的量。它可以形象化地表示為帶箭頭的線段。箭頭所指：代表向量的方向；線段長度：代表向量的大小。與向量對應的量叫做數量（物理學中稱標量），數量（或標量）只有大小，沒有方向。
［1］
定義大家應該都能明白，但是需要注意一點：給定的向量並不是固定不動的，它不像線段，起始和中止點都是固定的，向量是可以隨意平移的，但線段不行，這點後面我們也會說。
2. 向量的表示
向量有兩種表示方式：1。 幾何表示法；2。 座標表示法；幾何表示法如下圖
［1］
：
而座標表示法比較重要，後面所涉及的都是這種方法，如下圖
［1］
：
簡單來說，向量（a， b）（以下簡稱v（a， b）），表示往x軸正方向移動a個單位，往y軸正方向移動b個單位。比如說v（4， 2），如下圖所示：
每個虛線小箭頭表示一個單位，我們可以看到從（2， 2）為起點，向x正方向移動4個單位，然後向y軸正方向移動2個單位，最後連線首尾兩點的有向線段即為v（4， 2）。注意，我們之前提到向量可以隨意平移，所以下面兩組向量都表示同一個向量，即使它們的起點和終點並不相同：
也就是說，向量和起始終止位置無關，之和移動的方向和大小有關係。也可以說向量是動態的，而線段是靜態的，這點大家需要注意啦噠~
3. 向量的求解
如果我們已知兩個座標點，如何求解這兩點所表示的向量呢？方法也很簡單：
v（a， b） = point1 - point2 = v（point1。x - point2。x， point1。y - point2。y）
其實就是兩個座標點x和y相減，那向量方向為：point2為起始點，point1為中止點，比如下面兩點 （2，2） 和 （4，4），可以表示兩個相反方向但模相同的向量（模即為向量的長度），v（2， 2）和v（-2， -2）：
所以大家在用座標求解向量的時候一定要注意方向哦。
4. 向量的四則運算
4.1 加法
兩個向量相加，一般使用三角形法則或四邊形法則。比如v（4， 0） + v（0， 2） = v（4， 2）：
從上圖可以看出，最終求解的向量（標紅）即為另外兩個向量所組成的三角形的邊。或者我們將v（4， 0） 和 v（0， 2）平移到對面的方向，組成一個平行四邊形，那麼最終求解的向量為這個平行四邊形的內對角線：
而且我們也可以注意到，向量相加即為兩個向量座標之和：
/**
* vector addition
* */
public
Vector
add
（
Vector
vector
）
{
// 無視minsID
return
new
Vector
（
x
+
vector
。
x
，
y
+
vector
。
y
，
minsID
——
）；
}
4.2 減法
其實向量的減法可以看成加上一個方向相反的向量，所以同樣適用三角形或平行四邊形法則。還是上面的例子，這次我們減去v（0， 2），即加上v（0， -2）。另外注意，向量的運算需要兩兩向量首尾相連才能運算，所以下面右邊這種是不允許的：
/**
* vector subtract
* */
public
Vector
subtract
（
Vector
vector
）
{
return
new
Vector
（
x
-
vector
。
x
，
y
-
vector
。
y
，
minsID
——
）；
}
4.3 乘法和除法
這裡的乘法和除法並不是兩個向量的乘法和除法，而是和一個常量相乘和相除。向量之間的乘法是後面會講的點積和叉積，但向量之間沒有除法。向量和常量相乘或相除，大家可以理解為兩個向量之間的比例關係，我們用最簡單的共線向量（即平行向量）來舉例：
如果只看兩者的模，我們知道 |v（8，0）| = 4|v（2，0）|，或者 |v（8，0）| / 4 = |v（2，0）|；上面表達了兩個向量之間模的比例，但我們也可以直接用向量來表示兩者之間的關係：v（8，0） = 4v（2，0），或者 v（8，0） / 4 = v（2，0）；也就是說四分之一個v（8，0）即為v（2，0），4個v（2，0）即為一個v（8，0）：
理解了這些概念，那麼相應的程式碼也是很簡單了：
/**
* vector multiplication
* */
public
Vector
multiply
（
float
ratio
）
{
return
new
Vector
（
ratio
*
x
，
ratio
*
y
，
minsID
——
）；
}
/**
* vector division
* */
public
Vector
division
（
float
ratio
）
{
return
new
Vector
（
x
/
ratio
，
y
/
ratio
，
minsID
——
）；
}
同時，樓主給到的圖例也說明了向量四則運算的幾何關係，大家可以注意下呢。
5. 點積和叉積
這部分主要介紹點積和叉積的計算方法和幾何意義，至於其他詳細的內容，有興趣的童鞋可以參考這篇文章：
向量內積（點乘）和外積（叉乘）概念及幾何意義
。
5.1 點積
先介紹一下點積的基本求解形式
［2］
，如果給定兩個向量a和b：
則它們的點積定義為：
其實就是兩個向量的每個變數兩兩相乘，再相加：
/**
* dot multiplication， vector * vector
* */
public
static
float
dot
（
Vector
vector1
，
Vector
vector2
）
{
return
vector1
。
x
*
vector2
。
x
+
vector1
。
y
*
vector2
。
y
；
}
點積的幾何意義也很簡單：向量b在a上面的投影。注意，這裡也說明了點積的結果為常量，而非向量：
圖上紅色部分即為v（3，4）在v（8，0）上面的投影，至於點積的其他內容，請參看上面提到的文章。
5.2 叉積
叉積的一般計算求解需要用到矩陣乘法，而後面涉及的幾何求交主要是二維座標，所以這裡直接介紹二維座標的乘法：即x和y交叉相乘，再相減。
/**
* cross multiplication， vector x vector
* */
public
static
float
cross
（
Vector
vector1
，
Vector
vector2
）
{
return
vector1
。
x
*
vector2
。
y
-
vector1
。
y
*
vector2
。
x
；
}
叉積的幾何意義相對複雜一些：1）其模等於兩個向量所組成的平行四邊形的面積；2）方向為垂直於兩個向量所在平面。所以叉積和點積不一樣，叉積的結果是向量，而不是常量。大家可以看下面圖示
［2］
來理解：
6. 模的求解
模的求解最簡單的方法就是兩點之間的距離公式，這點我們從上面的向量幾何意義就能看出來，但是這樣計算太複雜了。還記得我們說過向量可以自由平移麼？那麼為何不把向量平移到原點，然後再計算其模呢？透過這樣的處理，一個向量的模可以使用其座標直接求解，而不用兩點間的距離公式：
/**
* vector‘s norm， but without radical
* */
public
float
normWithoutRadical
（）
{
return
x
*
x
+
y
*
y
；
}
/**
* vector’s norm
* */
public
float
norm
（）
{
return
（
float
）
Math
。
sqrt
（
normWithoutRadical
（）
）；
}
norm（）是開方之後的結果，normWithoutRadical（）則沒有開方，後面兩個都有用到，因為有些時候我們不需要開方，可以減少浮點數計算誤差。
透過這樣，我們可以求得向量的模。我們最後再提一下一個概念：單位向量（e），即模為1的向量。那麼，給定一個向量如何求得e呢？其實很簡單：
e（a， c） = v（a， b） / |v（a， b）|
也就是向量除以它的模，即為每個單位的向量。
好啦，向量先複習到這裡，以後有遇到更多知識再來講解噠~接下來，我們將開始正式講解兩種幾何求交的問題：直線和直線，圓和直線。
下一節：
幾何求交（一）：直線和直線的交點
幾何求交（二）：直線和圓的交點
7. 附錄：程式碼
程式碼：
Vector類
專案程式碼：
Algorithm Repository
8. 免責宣告
※ 本文之中如有錯誤和不準確的地方，歡迎大家指正噠~
※ 此專案僅用於學習交流，請不要用於任何形式的商用用途，謝謝呢；
