數學篇38：正項級數審斂法含證明

作者：由擺渡工作室發表于文化時間：2021-04-24

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公眾號：擺渡考研工作室

科目：數學

知識點：常數項級數的審斂法則

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以下內容為擺渡數學複習全書中考點解析部分，並不是全書完整的表述，部分內容可能會有看不懂情況，屬於正常現象，多看看即可。

定理 1

正項級數 #FormatImgID_1# 收斂的充分必要條件是:它的部分和數列 #FormatImgID_2# 有界.

證明：單調有界數列必有收斂。

定理2：比較審斂法

設 #FormatImgID_3# 和 #FormatImgID_4# 都是正項級數,且 #FormatImgID_5#

若級數 #FormatImgID_6# 收斂,則級數 #FormatImgID_7# 收斂;

反之,若級數 #FormatImgID_8# 發散,則級數 #FormatImgID_9# 發散.

證明：設級數

$\sum_{n=1}^{\infty} v_{n}$

收斂於

$\sigma$

，則級數

$\sum_{n=1}^{\infty} u_{n}$

的部分和

$s_{n}=u_{1}+u_{2}+\cdots+u_{n} \leq v_{1}+v_{2}+\cdots+v_{n} \leq \sigma(n=1,2, \cdots) \\$

即部分和數

$\left\{s_{n}\right\}$

有界

由定理 1 知級數

$\sum_{n=1}^{\infty} u_{n}$

收斂。

反之，設級數

$\sum_{n=1}^{\infty} u_{n}$

發散，則級數

$\sum_{n=1}^{\infty} v_{n}$

必發散。

因為若級數

$\sum_{n=1}^{\infty} v_{n}$

收斂，由上面已證明的結論，將有級數

$\sum_{n=1}^{\infty} u_{n}$

也收斂，與假設矛盾。

定理3：極限審斂法

設 #FormatImgID_20# 和 #FormatImgID_21# 都是正項級數,

(1)如果

$\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{u_{n}}{v_{n}}=l(0 \leq l<+\infty) \\$

且級數 #FormatImgID_23# 收斂,那麼級數 #FormatImgID_24# 收斂

(2)如果

$\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{u_{n}}{v_{n}}=l>0或\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{u_{n}}{v_{n}}=+\infty \\$

且級數 #FormatImgID_26# 發散,那麼級數 #FormatImgID_27# 也發散

證：（1）由極限定義可知，對

$\varepsilon=1$

，存在正整數

，當

時，有

$\frac{u_{n}}{v_{n}}< l+1 \\$

即

$u_{n}<(l+1) v_{n}$

而級數

$\sum_{n=1}^{\infty} v_{n}$

收斂；

根據比較審斂法的推論，知級數

$\sum_{n=1}^{\infty} u_{n}$

收斂。

（2）按已知條件知極限

$\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{v_{n}}{u_{n}}$

存在，如果級數

$\sum_{n=1}^{\infty} u_{n}$

收斂

那麼由結論

必有級數

$\sum_{n=1}^{\infty} v_{n}$

收斂，但已知級數

$\sum_{n=1}^{\infty} v_{n}$

發散，因此級數

$\sum_{n=1}^{\infty} u_{n}$

不可能收斂，即級數

$\sum_{n=1}^{\infty} u_{n}$

發散。

對於

$\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{u_{n}}{v_{n}}=+\infty$

的情形，留給考生自己證明（很簡單）

定理4：比值審斂法

設 #FormatImgID_43# 為正項級數,如果

$\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{u_{n+1}}{u_{n}}=\rho \\$

那麼當 #FormatImgID_45# 時級數收斂, #FormatImgID_46# (或 #FormatImgID_47# 時級數發散 #FormatImgID_48# 時級數可能收斂也可能發散.

證：（1）當

$\rho<1$

。取一個適當小的正數

$\varepsilon$

，使得

$\rho+\varepsilon=r<1$

，根據極限定義，存在正整數

，當

$n \geq$

時有不等式

$\frac{u_{n+1}}{u_{n}}<\rho+\varepsilon=r \\$

因此

$u_{m+1}< r u_{m}, u_{m+2}< r u_{m+1}< r^{2} u_{m}, \cdots, u_{m+k}< r^{k} u_{m}, \cdots \\$

而級數

$\sum_{k=1}^{\infty} r^{k} u_{m}$

收斂

公比

，根據定理 2 的推論，知級數

$\sum_{n=1}^{\infty} u_{n}$

收斂。

（2）當

$\rho>1$

。取一個適當小的正數

$\varepsilon$

，使得

$\rho-\varepsilon>1$

。根據極限定義，當

$n \geq m$

時有不等式

$\frac{u_{n+1}}{u_{n}}>\rho-\varepsilon>1 \\$

也就是

$u_{n+1}>u_{m} \\$

所以當

$n \geq m$

時，級數的一般項

$u_{n}$

是逐漸增大的，從而

$\lim _{n \rightarrow \infty} u_{n} \neq 0$

。

根據級數收敘的必要條件可知級

$\sum_{n=1}^{\infty} u_{n}$

發散。

類似地，可以證明當

$\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{u_{n+1}}{u_{n}}=\infty$

時，級數

$\sum_{n=1}^{\infty} u_{n}$

發散。

（3）當

$\rho=1$

時級數可能收斂也可能發散。例如

級數（例

，不論

為何值都有

$\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{u_{n+1}}{u_{n}}=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\frac{1}{(n+1)^{p}}}{\frac{1}{n^{p}}}=1 \\$

但我們知道，當

時級數收斂，當

$p \leq 1$

時級數發散，因此只根據

$\rho=1$

不能判定級數的收斂性

定理 5:根值審斂法

設 #FormatImgID_81# 為正項級數,如果

$\lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{u_{n}}=\rho \\$

那麼當#FormatImgID_83#時級數收斂，#FormatImgID_84# (或 #FormatImgID_85#時級數發散, #FormatImgID_86#時級數可能收斂也可能發散.

定理6:極限審斂法

設 #FormatImgID_87# 為正項級數,

(1)如果 #FormatImgID_88# 或 #FormatImgID_89#,那麼級數 #FormatImgID_90# 發散

(2) 如果 #FormatImgID_91#,#FormatImgID_92##FormatImgID_93#, 那麼級數 #FormatImgID_94# 收斂.

往期知識點-數學篇

列1

1。對映

4。函式極限性質

7。極限存在準則

10。微分中值定理

13。曲率

16。分佈積分法

19。無界函式審斂法

22。平面方程

25。空間曲線投影

28。向量函式求導

31。梯度

34。含參積分

37。收斂級數性質

列2

2。函式特性

5。連續性與間斷點

8。高階導|萊布尼茨

11。洛必達法則

14。不定積分理解

17。不定積分技巧

20。微分方程基礎

23。空間曲線

26。多元複合函式

29。曲線法平面

32。拉格朗日

35。格林公式I

列3

3。數列收斂

6。最值|介值|零點

9。引數與隱函式

12。泰勒公式

15。換元積分法

18。反常積分審斂法

21。微分方程進階

24。旋轉曲面

27。隱函式定理

30。方向導數

33。二重積分技巧

36。格林公式推論

標簽：級數 FormatImgID 收斂發散審斂

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