通向現代數學1：抽象代數，拓撲與泛函分析

高中數學展現的是大概500年前的數學發展程度，而大學非數學專業（微積分，線性代數）也只是推進到了18，19世紀。而當代數學，不同於其他學科，其抽象程度之高基本到了一個無法科普的程度。這篇文章假設讀者有高中數學基礎以及不錯的英文（4k詞彙量），結合我自己的數學學習經歷，推薦一些英文數學教材。

本文從程式設計和數學2個方面入手，希望帶你瞭解20世紀的數學（對，還到不了21世紀），為下一篇關於代數程式設計的文章做鋪墊。對於函數語言程式設計愛好者，你將會發現數學和函數語言程式設計確實是一體兩面，而對於數學愛好者，有了這些基礎以後能大概看懂像 @Yuhang Liu 他們的回答。

抽象代數的學習無法一蹴而就，一般初次要學一遍本科級別教材，第二次用研究生級別的教材深化。這本非常適合入門（本科級別）：

群論一定要熟悉，因為範疇論的第一個例子就是category of group 。但是上面這本完全沒有涉及範疇論這個abstract nonsense。

然後就可以看下面這本啦，從頭到尾基於範疇論的語言，是最現代的研究生抽象代數教材，其中講到同調代數（範疇論的起源，研究代數拓撲的工具）時的配圖對於加深理解非常有用。另外，Ring是如何透過group以及範疇論構造的也講的非常精彩（Ring的乘法來自函式複合）。

抽待和線性代數（高等代數）可以一起看：

這本書雖然沒有提到範疇論，但是思想很範疇化，非常重視線性變換而非矩陣，而線性變換其實就是函子。

然後是分析方面的，這本可以算數學分析的前奏。我們在初中就學了實數，但是到底什麼是實數？這本從自然數的構造開始，到有理數，最後到實數

以及Terrace Tao的實分析，思維非常清晰連貫，也是從實數的構造開始。為了motivate為什麼要學分析，開頭舉了很多反直覺的例子。作為一個痛恨分析的人，我感覺這本書可讀性非常好。

進一步的分析一般包括實變，而這本書把泛函以及調和分析都講到了，不要求前置知識，但是講的比較枯燥，適合進一步學習。

另外聽說folland的實變很不錯。

再後面就是泛函分析了，看了好多本教材，這一本目錄看著最清爽，從最簡單的hibert space開始講。對了，第二章裡邊的adjoint 可能是範疇論adjoint的一個最簡單的例子。

如果想學習HoTT那拓撲是必須的了。拓撲分為Point set topology與代數拓撲，前者是後者的基礎，這本的點集拓撲部分是標準教材：

這本配圖非常多，內容偏代數拓撲

然後就可以正式學習代數拓撲了，這本是不得不提的著名教材，語言非常形象，讀起來就像故事書一樣。

另外，rotman 的代數拓撲導論語言更加範疇化，可以一起看

還有幾個大的分支本文沒有提到，比如代數幾何，橢圓曲線，數論等。

這是一個系列裡邊的第一篇，下一篇準備講講範疇論如何把這些學科在一個統一的數學語言下串起來，以及範疇論，HoTT和程式設計之間的聯絡