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北夏的一道計算題

作者：由 philos 發表于文化時間：2019-05-23

無意間發現2016北夏有這麼一道畫風清奇的題目：

△ABC滿足BC=6，AC=7，AB=8，O是△ABC的外心，CD⊥BO於D，BE⊥CO於E，過D作AB的垂線與過E作AC的垂線交於

，類似的作出

。求△

的半徑。

按理講這種考試都是競賽級別的，出幾何也應該是形式比較漂亮的證明題啊。。。這個貌似就是直接剝蒜？（像17還是18年的p1的偽外接圓基本性質的推論就很棒）

我也料到，如果我要在考場上完成這一道題，我會優先選擇剝蒜的方式，而論剝蒜我會優先選擇複數法。

不妨考慮單位圓上三點

所對應的

所成三角形外接圓半徑的特徵。而這裡很容易想到設

，然後直接計算

的座標。

緊接著就是簡單的計算，BO的方程顯然是

$P=b^4\bar{P}$

，過C的BO垂線是

$P+b^4\bar{P}=C+b^4\bar{C}$

，即

$P+b^4\bar{P}=c^2+\frac{b^4}{c^2}$

，上述兩個方程聯立不難得到

$D=\frac{c^2}{2}+\frac{b^4}{2c^2}$

，同理

$E=\frac{b^2}{2}+\frac{c^4}{2b^2}$

。

過D的BC垂線方程

$l_1:P-b^2c^2\bar{P}=D-b^2c^2\bar{D}$

，即

$P-b^2c^2\bar{P}=\frac{c^2}{2}+\frac{b^4}{2c^2}-b^2c^2(\frac{1}{2c^2}+\frac{c^2}{2b^4})$

同理過E的AC垂線方程為

$l_2:P-a^2c^2\bar{P}=\frac{b^2}{2}+\frac{c^4}{2b^2}-a^2c^2(\frac{1}{2b^2}+\frac{b^2}{2c^4})$

兩個方程聯立就可以得到

的座標，這裡是簡單計算，略去過程。

我們可以得到

$A_1=-\frac{1}{2}a^2b^2c^2(\frac{1}{b^4}+\frac{1}{c^4})$

，

$B_1=-\frac{1}{2}a^2b^2c^2(\frac{1}{a^4}+\frac{1}{c^4})$

，

$C_1=-\frac{1}{2}a^2b^2c^2(\frac{1}{a^4}+\frac{1}{b^4})$

這裡倒是可以透過剝蒜中垂線方程算個外心座標再算半徑。。。但是感覺靈敏一點的話，不難發現可以作平移

$+\frac{1}{2}a^2b^2c^2(\frac{1}{b^4}+\frac{1}{c^4}+\frac{1}{a^4})$

，則

，

，

都平移到了以原點為圓心，半徑為

$\frac{1}{2}$

的圓上，所以外接圓半徑就是

$\frac{1}{2}$

。

那如此以來我們便知道了我們要求的外接圓半徑就是△ABC外接圓的一半，而這就是高中基礎知識了。

由余弦定理，

$cosA=\frac{6^2+7^2-8^2}{2\cdot6\cdot7}=\frac{1}{4}$

，故

$sinA=\frac{\sqrt{15}}{4}$

再由正弦定理，三角形ABC的直徑為

$2R=\frac{BC}{sinA}=\frac{8}{\frac{\sqrt{15}}{4}}=\frac{32}{\sqrt{15}}$

$R=\frac{16}{\sqrt{15}}$

，故我們所求

。

畢。

因為原來沒注意到外接圓半徑的特殊性，所以得出

的座標後我直接代值計算，所以效率低了一些，最後大概用了40min。

目前還不知道純幾何證明那個三角形外接圓半徑為原三角形一半的方法，要是找到了，我會放上來的。

標簽：外接圓半徑垂線 ABC 剝蒜

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