三相ACDC變換器基本Model & Control

作者：由小小小小尖發表于收藏時間：2021-07-28

abc座標系的數學模型

abc座標系的狀態平均模型(State-Average Model)

dq座標系的小訊號模型(Small-Signal Model)

基於PI控制器的併網電流控制

三相AC/DC變換器

1。 abc座標系的數學模型

在AC側應用基爾霍夫電壓定律（KVL），DC側應用基爾霍夫電流定律（KCL），可建立如下abc座標系下的數學模型：

$\left\{\begin{array}{l} u_{g a}-L_{g} \frac{d i_{g a}}{d t}-S_{a} v_{d c}=u_{g b}-L_{g} \frac{d i_{g b}}{d t}-S_{b} v_{d c}=u_{g c}-L_{g} \frac{d i_{g c}}{d t}-S_{c} v_{d c} \\ C \frac{d v_{d c}}{d t}=S_{a} i_{g a}+S_{b} i_{g b}+S_{c} i_{g c}-i_{l o a d} \end{array}\right.$

上式中，

是開關函式，根據開關狀態取值0或1。在對稱三相系統中，

$u_{ga}+u_{gb}+u_{gc}=0,i_{ga}+i_{gb}+i_{gc}=0$

，上式化簡為：

$\left\{\begin{array}{c} {\left[\begin{array}{c} u_{g a} \\ u_{g b} \\ u_{g c} \end{array}\right]=L_{g} \frac{d}{d t}\left[\begin{array}{c} i_{g a} \\ i_{g b} \\ i_{g c} \end{array}\right]+\left[\begin{array}{l} S_{a}-\frac{S_{a}+S_{b}+S_{c}}{3} \\ S_{b}-\frac{S_{a}+S_{b}+S_{c}}{3} \\ S_{c}-\frac{S_{a}+S_{b}+S_{c}}{3} \end{array}\right] v_{d c}} \\ C \frac{d}{d t} v_{d c}=\left[S_{a} S_{b} S_{c}\right]\left[\begin{array}{c} i_{g a} \\ i_{g b} \\ i_{g c} \end{array}\right]-i_{\text {load }} \end{array}\right.$

其中，

$\frac{S_{a}+S_{b}+S_{c}}{3} v_{dc}$

為零序電壓。顯然，這是一個非常複雜、狀態變數互相耦合、不連續且非線性的系統。

2。 abc座標系的狀態平均模型（State-Average Model）

關於狀態平均的概念可參見下面這篇文章：

在狀態平均的意義下，開關函式等同於佔空比，應用狀態平均法後系統的狀態方程變為：

$\left\{\begin{array}{c} {\left[\begin{array}{c} \left\langle u_{g a}\right\rangle_{T_{s}} \\ \left\langle u_{g b}\right\rangle_{T_{s}} \\ \left\langle u_{g c}\right\rangle_{T_{s}} \end{array}\right]=L_{g} \frac{d}{d t}\left[\begin{array}{l} \left\langle i_{g a}\right\rangle_{T_{s}} \\ \left\langle i_{g b}\right\rangle_{T_{s}} \\ \left\langle i_{g c}\right\rangle_{T_{s}} \end{array}\right]+\left[\begin{array}{c} d_{a}-\frac{d_{a}+d_{b}+d_{c}}{3} \\ d_{b}-\frac{d_{a}+d_{b}+d_{c}}{3} \\ d_{c}-\frac{d_{a}+d_{b}+d_{c}}{3} \end{array}\right]\left\langle v_{d c}\right\rangle_{T_{s}}} \\ C \frac{d}{d t}\left\langle v_{d c}\right\rangle_{T_{s}}=\left[\begin{array}{lll} d_{a} & d_{b} & d_{c} \end{array}\right]\left[\begin{array}{c} \left\langle i_{g a}\right\rangle_{T_{s}} \\ \left\langle i_{g b}\right\rangle_{T_{s}} \\ \left\langle i_{g c}\right\rangle_{T_{s}} \end{array}\right]-\left\langle i_{\text {load }}\right\rangle_{T_{s}} \end{array}\right.$

其中，

代表佔空比。經過狀態空間平均操作後，原本不連續的系統已簡化為連續，開關紋波也被消除。

3。 dq座標系的小訊號模型（Small-Signal Model）

建立小訊號模型目的在於將系統在工作點(quiescent operation point)線性化，後續引入經典控制理論(根軌跡、伯德圖、奈奎斯特判據，etc)進行控制器的設計。

為什麼是dq座標系，因為abc座標系下控制量是交流量，引入旋轉座標變換後，將交流量轉變為直流量，不僅可以得到連續定常模型和小訊號模型，而且易於引入PID控制。關於兩種座標變換（Clarke和Park）可參加如下文章：

對狀態平均方程先施加克拉克變換，得到

$\alpha \beta$

座標系下的大訊號模型：

$\left\{\begin{array}{l} {\left[\begin{array}{l} \left\langle u_{g \alpha}\right\rangle_{T_{s}} \\ \left\langle u_{g \beta}\right\rangle_{T_{s}} \end{array}\right]=L_{g} \frac{d}{d t}\left[\begin{array}{l} \left\langle i_{g \alpha}\right\rangle_{T_{s}} \\ \left\langle i_{g \beta}\right\rangle_{T_{s}} \end{array}\right]+\left[\begin{array}{l} d_{\alpha} \\ d_{\beta} \end{array}\right]\left\langle v_{d c}\right\rangle_{T_{s}}} \\ C \frac{d}{d t}\left\langle v_{d c}\right\rangle_{T_{s}}=\frac{3}{2}\left[\begin{array}{ll} d_{\alpha} & d_{\beta} \end{array}\right]\left[\begin{array}{c} \left\langle i_{g \alpha}\right\rangle_{T_{s}} \\ \left\langle i_{g \beta}\right\rangle_{T_{s}} \end{array}\right]-\left\langle i_{\text {load }}\right\rangle_{T_{s}} \end{array}\right.$

再施加旋轉座標變換，得到dq座標系下的大訊號模型：

$\left\{\begin{array}{l} {\left[\begin{array}{l} \left\langle u_{g d}\right\rangle_{T_{s}} \\ \left\langle u_{g q}\right\rangle_{T_{s}} \end{array}\right]=L_{g} \frac{d}{d t}\left[\begin{array}{c} \left\langle i_{g d}\right\rangle_{T_{s}} \\ \left\langle i_{g q}\right\rangle_{T_{s}} \end{array}\right]+L\left[\begin{array}{cc} 0 & -\omega \\ \omega & 0 \end{array}\right]\left[\begin{array}{l} \left\langle i_{g d}\right\rangle_{T_{s}} \\ \left\langle i_{g q}\right\rangle_{T_{s}} \end{array}\right]+\left[\begin{array}{c} d_{d} \\ d_{q} \end{array}\right]\left\langle v_{d c}\right\rangle_{T_{s}}} \\ C \frac{d}{d t}\left\langle v_{d c}\right\rangle_{T_{s}}=\frac{3}{2}\left[\begin{array}{l} d_{d} \\ d_{q} \end{array}\right]^{T}\left[\begin{array}{c} \left\langle i_{g d}\right\rangle_{T_{s}} \\ \left\langle i_{g q}\right\rangle_{T_{s}} \end{array}\right]-\left\langle i_{\text {load }}\right\rangle_{T_{s}} \end{array}\right.$

觀察這個式子可以發現，dq軸電流之間存在耦合，第二個方程出現1。5的係數是等幅值變換導致的。

在工作點處新增擾動項可以建立小訊號模型：

$\langle x\rangle_{T_{s}}=X+\hat{x}$

其中，

是直流分量，

$\hat{x}$

是擾動項。

由於擾動項可以來源於交流電網，負荷電流以及佔空比，將大訊號模型的變數用小訊號表示，並忽略擾動的二階項，得到系統在靜態工作點的方程：

$\left\{\begin{aligned} U_{g d} &=-\omega L_{g} I_{g q}+D_{d} V_{d c} \\ U_{g q} &=\omega L_{g} I_{g d}+D_{q} V_{d c} \\ I_{\text {load }} &=\frac{3}{2}\left(D_{d} I_{g d}+D_{q} I_{g q}\right) \end{aligned}\right.$

同時，建立小訊號模型如下：

$\left\{\begin{array}{l} \hat{u}_{g d}=L_{g} \frac{d \hat{i}_{g d}}{d t}-\omega L_{g} \hat{i}_{g q}+D_{d} \hat{v}_{d c}+V_{d c} \hat{d}_{d} \\ \hat{u}_{g q}=L_{g} \frac{d \hat{i}_{g q}}{d t}+\omega L_{g} \hat{i}_{g d}+D_{q} \hat{v}_{d c}+V_{d c} \hat{d}_{q} \\ C \frac{d}{d t} \hat{v}_{d c}=\frac{3}{2}\left(D_{d} \hat{i}_{g d}+I_{g d} \hat{d}_{d}+D_{q} \hat{i}_{g q}+I_{g q} \hat{d}_{q}\right)-\hat{i}_{l o a d} \end{array}\right.$

依據上式。網側變流器的小訊號模型如下圖所示。它相當於兩個輸出並聯的BOOST變換器。在小訊號模型的基礎上，很容易得到系統的傳遞函式，而且系統已經線性化。

旋轉座標系下的小訊號模型

4。基於PI控制器的併網電流控制

眾所周知，PWM功率變換器一般採用級聯控制——電流內環和電壓、功率、速度、磁鏈外環。併網變換器採用兩個電流內環實現在負荷變化時的快速響應，用一個直流電壓控制器實現變換器的獨立控制。

4.1 電流內環引數設計

在電網和負荷穩定的條件下，電網電壓、負荷電流的擾動可以忽略，由於電流內環的速度遠快於電壓外環，直流電壓視為恆定，因此，小訊號模型簡化為：

$\frac{d}{d t}\left[\begin{array}{c} \hat{i}_{g d} \\ \hat{i}_{g q} \end{array}\right]=-\left[\begin{array}{cc} 0 & -\omega \\ \omega & 0 \end{array}\right]\left[\begin{array}{c} \hat{i}_{g d} \\ \hat{i}_{g q} \end{array}\right]-\frac{1}{L_{g}}\left[\begin{array}{l} \hat{d}_{d} \\ \hat{d}_{q} \end{array}\right] V_{d c}$

這是一個雙輸入雙輸出的系統，但是dq軸之間存在耦合。這裡可以採用解耦控制將原系統簡化為兩個單入單出的子系統。如果PI控制器的輸出修改為：

$\left\{\begin{array}{l} \hat{d}_{d}=G_{P I}\left(i_{g d}^{\hat{*}}-\hat{i}_{g d}\right)-\omega L_{g} \hat{i}_{g q} / V_{d c} \\ \hat{d}_{q}=G_{P I}\left(i_{g q}^{\hat{*}}-\hat{i}_{g q}\right)+\omega L_{g} \hat{i}_{g d} / V_{d c} \end{array}\right.$

（上式第一項為PI控制器的原本輸出，第二項為人為新增的補償項）

則原系統可以繼續化簡為：

$\frac{d}{d t}\left[\begin{array}{l} \hat{i}_{g d} \\ \hat{i}_{g q} \end{array}\right]=-\frac{1}{L_{g}}\left[\begin{array}{l} \hat{d}_{d} \\ \hat{d}_{q} \end{array}\right] V_{d c}$

這裡，dq軸之間的耦合已經解開。控制框圖如下：

dq解耦控制框圖

從plant的方程可以看出，解耦後的系統表現為一個積分器，可以匯出

從佔空比到電流的傳遞函式

：

$\left\{\begin{array}{l} \frac{\hat{i}_{g d}(s)}{\hat{d}_{d}(s)}=-\frac{V_{d c}}{L_{g} s} \\ \frac{\hat{i}_{g q}(s)}{\hat{d}_{q}(s)}=-\frac{V_{d c}}{L_{g} s} \end{array}\right.$

考慮到外環直流電壓，其擾動與佔空比與併網電流的變化有關。利用電網電壓定向控制，d軸電壓的方向鎖定為電網電壓，則

$u_{gd}=U_g,u_{gq}=0$

。

再根據有功功率平衡，

$P_{3\Phi}=\frac{3}{2}(u_{gd}i_{gd}+u_{gq}i_{gq})=\frac{3}{2}u_{gd}i_{gd} ,P_{dc}=V_{dc}I_{dc}$

直流電壓僅與d軸電網電流有關，因此，直流電壓方程可以進一步化簡為：

$\frac{d}{d t} \hat{v}_{d c}=\frac{3}{2 C} I_{d} \hat{d}_{d}+\frac{3}{2 C} D_{d} \hat{i_{d}}$

上式第一項可以視為擾動項，在單位功率因數執行時q軸電流為0，

從d軸電流到直流電壓的傳遞函式

可以簡化為：

$\frac{\hat{v}_{d c}(s)}{\hat{i_{d}}(s)}=\frac{3 D_{d}}{2 C s}=\frac{3 U_{g}}{2 V_{d c} C s}$

同樣，這個傳函也是一個積分器。有了兩個控制環的傳遞函式，補償網路可以很方便的設計出來。

從佔空比到變換器的輸出可以視為一個比例單元，具體推導參看下面這篇文章：

在實際控制中，考慮到PWM的傳輸延遲和數字控制的取樣延遲，一般需要在比例的基礎上新增延遲環節，由於延遲在數百微秒左右，可將PWM單元其近似為一階慣性環節：

$G_{P W M}(s)=\frac{1}{T_{d} s+1}$

是一個與取樣週期有關的延遲。一般取開關週期的1。25倍。

有了變換器的狀態平均模型，PWM模型，PI控制器，電流內環的整體控制框圖繪製如下：

電流內環整體控制框圖

OK。我們來寫傳遞函式：

PI控制器：

$G_{P I_{-} i g}(s)=K_{p_{-} i g}+\frac{K_{i_{-i g}}}{s}$

被控物件：

$G_{p l_{-i g}}(s)=\frac{1}{L_{g} s}$

忽略直流分量、解耦分量，電流內環可以簡化為下圖：

電流開環傳遞函式為：

$G_{\text {ol_ig }}(s)=G_{P I_{-i g}}(s) G_{P W M}(s) G_{p l_{-g} g}(s)$

採用伯德圖設計控制器，當然可以直接利用Matlab自帶的PID Tuner更為方便。閉環幅頻曲線-3dB對應的頻率定義為頻寬，可以粗略認為開環傳遞函式的穿越頻率（0dB對應的頻率）為閉環頻寬。這種簡化是合理的。為了實現擾動器件快速響應，PI控制器的設計目標是將電流內環的頻寬調整為開關頻率的1/20到/10。同時，從減小開關頻率附近諧波的角度，開環傳遞函式幅頻曲線在0dB的斜率為-20dB/dec，以確保足夠的相位裕度。

一個7。5kW併網變換器的引數如下表所示。

311 V

Vdc

650 V

18 mH

fsw

5 kHz

250 us

代入系統引數後的開環傳遞函式：

$G_{\text {ol_ig }}(s)=\frac{K_{p\_ig}s+K_{i\_{ig}}}{s(4.5\times10^{-6} s^2 + 0.018 s)}$

穿越頻率設為316。7Hz，相位裕度設為60度。解方程可得

$K_{p\_ig}=40,K_{i\_{ig}}=120$

開環傳遞函式伯德圖

從伯德圖來看，開環傳遞函式穿越頻率在300Hz附近具有-20dB/dec的斜率，系統具有較快的響應速度。相位裕度為60度，保證系統具有一定的穩定性。

閉環傳遞函式伯德圖

下面從極點配置的角度設計PI控制器的引數。系統閉環傳遞函式為：

$G_{\text {cl_ig }}(s)=\frac{K_{p\_ig}s+K_{i\_{ig}}}{L_gT_ds^3+L_gs^2+K_{p\_ig}s+K_{i\_{ig}}}$

閉環系統特徵方程為：

$D(s)=L_gT_ds^3+L_gs^2+K_{p\_ig}s+K_{i\_{ig}}$

這是一個三階系統，可以採用閉環主導極點理論進行降階。目測該系統的實數極點遠離虛軸，存在一對共軛複數極點，可認為系統的響應主要由該極點決定（主導極點），此係統就可近似地當作二階系統來分析，其暫態響應效能指標都可按二階系統近似估計。關於二階系統的效能指標可參看這位大佬的文章：

假設系統主導極點期望值為：

$\begin{aligned} &s_{r 1.2}=-\zeta_{r} \omega_{r} \pm j \omega_{r} \sqrt{1-\zeta r^{2}} \\ &s_{r 3}=-n \zeta_{r} \omega_{r} \end{aligned}$

$\zeta_r$

為阻尼比，

$\omega_r$

為自然振盪角頻率。

$\left(s-s_{r 1}\right) \times\left(s-s_{r 2}\right) \times\left(s-s_{r 3}\right)=s^{3}+s^{2} \zeta_{r} \omega_{r}(2+n)+\left(2 n \zeta_{r}^{2}+1\right) \omega_{r}^{2} s+n \zeta_{r} \omega_{r}^{3}$

利用上式得出滿足期望極點的控制器引數：

$K_{p\_{ig}}=(2n\zeta_r^2+1)\omega_r^2 L_gT_d$

$K_{i\_ig}=n \zeta_{r} \omega_{r}^{3}L_gT_d$

$\zeta_{r} \omega_{r}(2+n)=\frac{1}{T_d}$

二階系統的最佳阻尼比

$\zeta_r=0.707$

時，調整時間最小，超調量在單位階躍響應下為5%。

取5，求出

$\omega_r=808\,rad/s,K_{p\_{ig}}=17.6,K_{i\_{ig}}=8399$

。從零極點分佈圖可以看出，系統存在一對主導極點，第三個極點的實部為共軛極點實部的6倍，極點分佈符合高階系統低階化的條件。同時，第三個極點離虛軸較遠，提高了系統的響應速度。

閉環系統零極點分佈圖

4.2 電壓外環引數設計

在設計電壓外環引數時，可將電流內環視為一個閉環系統，再加上被控物件直流電容的模型，直流電壓控制環的框圖如下：

直流電壓控制框圖

上圖考慮了濾除直流電壓高頻噪音的濾波單元

，並且添加了負載電流前饋，確保負載變化時控制器具有足夠快的響應。忽略直流分量，電壓外環PI控制器，電流內環，被控物件的傳遞函式重寫如下：

$\begin{gathered} G_{P I_{-} V}(s)=K_{p_{-} V}+\frac{K_{i_{-} V}}{s} \\ G_{c l_{-} i g}(s)=\frac{G_{\text {ol_ig }}(s)}{1+G_{\text {ol_ig }}(s)} \\ G_{p l_{-} V}(s)=\frac{3 U_{g}}{2 V_{d c} C s} \\G_{f}(s)=\frac{1}{T_{f} s+1} \end{gathered}$

那麼，直流電壓開環控制框圖簡化為：

直流電壓開環控制框圖

建立直流電壓開環傳遞函式：

$G_{o l_{-} V}(s)=G_{P I\_{V} }(s) G_{c l\_{i g} }(s) G_{p l_{-} V}(s) G_{f}(s)$

為了獨立設計內環、外環引數，外環的頻寬限制在內環的1/50到1/10，因此設計內環引數時。內環的參考電流可視為恆定。設計外環引數時，內環可視為一個閉環系統。很容易利用PID Tuner調參。直流電容，濾波器時間常數和PI控制器引數如下表所示：

600 uF

10 ms

Kp_V

0。1

Ki_V

0。5

有了以上引數，就可以得到各個環節的傳遞函式，做出伯德圖。可以看出，被控物件幅頻曲線的斜率一致保持在-20dB/dec，與積分器相一致。頻率超過濾波器截至頻率後，開環幅頻曲線又疊加-20dB/dec，超過電流環頻寬後，斜率變為-80dB/dec，經過PI補償後，系統頻寬為10Hz，相位裕度為53。2度。

電壓外環伯德圖

附上MATLAB求解程式碼

function

fsolv

（

）

316。7

；

250e-6

；

18e-3

；

Gpi

（

）

（

）

（

）；

Gpl

（

）；

Gpwm

（

）；

Gol

Gpi

Gpl

Gpwm

；

（

）

abs

（

Gol

）

；

（

）

angle

（

Gol

）

180

；

end

References

［1］ Blaabjerg F， Control of Power Electronic Converters and Systems Vol 1， 2018。

［2］ R。W。 Erickson， M。 Dragan， Fundamentals of Power Electronics， Springer Science & Business Media， 2007。

都看到這裡了。點贊收藏三連了嗎，關注一下，後期還有更多幹貨更新。

標簽：傳遞函式電流內環系統控制器

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