虛數可以比較大小嗎？

Loner2022-04-01 09:57:36

不可以，但可以比較模長的大小。

達克普林斯2022-04-01 15:45:17

虛數可不可以比大小取決於你對這個“大小“有什麼需求，如果你只是想要一個linear order，也就是說任意的兩個a+bi， c+di，要麼a+bi < c+di， 要麼a+bi = c+di， 要麼a+bi > c+di， 同時這個order是transitive的，那麼可以這樣定義 a+ bi < c+di if and only if a < b 或者 a=b and c

但是如果你要求這個“大小”像實數域上的“大小”那樣，是不可以的。我們知道在實數域上， 如果x， y > 0 那麼xy > 0。 那麼假設虛數里也存在一個這樣的order，

如果定義

， 那麼

。 同理，定義

也會得出

。這樣的定義與複數上的代數結構是衝突的。

嚴格的表述是複數上不存在ordered field，但是複數可以是一個ordered set。

張景斌2022-04-02 12:19:03

複數可以構成一個全序集，最簡單的構造方法是先對模長排序，模長排序後模長相同的再根據幅角排序，

。但是這樣的構造方法沒有太多attraction point，至少構成不了有序域，即加法乘法不保持不等號，吸引不了大家的興趣。偏序集倒是可以，如

總而言之，複數可以比較大小，但是全序集沒意義，只有偏序集。所以高考的時候，看到有不等號，想都不要想，閉著眼睛就應該知道這是實數在比較大小，因為高中不會用這麼複雜的東西來定義複數比較大小。別說是高考了，就算是全國高中數學聯賽這種考試，看到不等號，直接當成實數，CMO不瞭解，因為沒有參加過。

彗星燃燒劃過天邊2022-04-02 21:10:24

虛數不能比大小，虛數的模才能比大小。

實數可以用數軸來全部表示。規定數軸右邊位置的實數比左邊的大。

而複數，是用複平面直角座標系來表示的。如何規定他們的大小？

知乎使用者2022-04-04 23:15:52

一般只比模

|2+i|-|1+i|>0

|2+i|>|1+i|

事實上覆數本身不能比大小

（2+i）-（1+i）>0的寫法根本就是錯的

（2+i）-（1+i）=1+0i

1+0i和0沒有大小關係，和1也沒有大小關係，和i也沒有大小關係，只和1+0i有相等關係