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10241 張大伯買米的暫態分析

作者：由王贇 Maigo 發表于收藏時間：2016-05-11

昨天看到了一個“張大伯買米”的物理問題，很有意思。簡述一下，是這樣：張大伯去買一斤米，米店老闆用一個如題圖（作者：@渣渣）所示的、類似飲水機的裝置往秤盤上倒米，當秤盤示數恰為一斤時關掉閥門。張大伯覺得自己虧了，因為在倒米的過程中秤盤會受到一個額外的、向下的力。而實際上他並沒有虧，因為這個額外的力恰好等於空中尚未落到秤盤上的米的重力。

在原來的問題中，米一旦落到秤盤上就不動了。@白如冰寫了一篇文章，探討了米落到秤盤上還會再彈起來的情況，得到的結論也是一樣的：

在穩態下，空中的米對秤盤的衝擊力等於空中的米的重力

。在評論（第3頁）中，@AllanCruse對秤盤示數的變化過程感到了好奇。這篇文章，就來分析一下在倒米的整個過程中，秤盤的示數是怎麼變化的。

一、米不會彈跳的情況

設單位時間內流出的米的質量（簡稱流量）為

$\lambda$

。注意，在空中的米柱的各個位置，米粒的密度不同，但流量都是相同的。再設米從閥門落到秤盤上所需時間為

，則米落到秤盤上時速度大小為

。用

表示米柱對秤盤衝擊力的大小，它也等於秤盤對米柱的支援力的大小。

考察一小段時間

$\Delta t$

內落在秤盤上的米，其質量為

$\lambda \Delta t$

，速度從

減小至

。由動量定理，有

$F \Delta t = \lambda \Delta t \cdot v$

，於是

$F = \lambda v$

。這個力並不是一直存在的——在第一粒米落到秤盤上（時刻

）之前，秤盤的示數一直都是0。在

時刻，秤盤的示數突變至

$F = \lambda v$

。而此時空中已經有了質量為

$\lambda t$

的米，它們所受的重力恰好等於

。換句話說，在

時刻，秤盤的示數是“準確”的。

在

時刻之後，秤盤所受的衝擊力大小不變，同時盤上開始積累米。到閥門關閉之前，秤盤的示數一直都是準確的。閥門關閉（設此時為

時刻）後，秤盤所受衝擊力大小暫時保持不變，同時盤上還在繼續積累米，所以秤盤示數繼續勻速增加。在閥門關閉後

時刻，空中的米都落到了秤盤上，衝擊力消失，秤盤示數瞬間減小，最終顯示米的總重量（等於

$g \lambda T$

）。

上述過程用圖象表示，是這樣：

二、米會彈跳的情況

設米從下落到第一次彈跳所需時間為

，從第一次彈跳到第二次彈跳所需時間為

（因為米要先上升再下降，所以帶上係數2），以此類推。由此可求出米在第

次彈跳前的速度大小

，彈跳後的速度大小

$v_{k+1} = gt_{k+1}$

。設正在進行第

次彈跳的米給秤盤的衝擊力為

，由動量定理，

$F_k = \lambda (v_k + v_{k+1}) = g \lambda (t_k + t_{k+1})$

。也就是說，正在進行第

次彈跳的米給秤盤的衝擊力，等於正在俯衝準備進行第

次彈跳的米和剛剛完成第

次彈跳正在上升的米的總重力。

在

時刻，第一粒米落在秤盤上，衝擊力

出現，秤盤示數從

突變至

並保持穩定。到

時刻，衝擊力

出現，秤盤示數突變至

並再次保持穩定。在第一粒米停止彈跳之前，秤盤示數一直是呈現階梯式跳變的。在正常情況下，無論經過有限次還是無限次彈跳，米總會在

有限的時間

內結束彈跳，開始積累，系統從此進入穩態，秤盤示數等於已經流出的米的總重量。時刻

閥門關閉後，秤盤示數仍會保持勻速增加。到

時刻，最後一粒米完成第一次彈跳，衝擊力

消失，秤盤示數瞬間減小

後，繼續勻速增加。到

時刻，衝擊力

消失，秤盤示數瞬間減小

後，依然勻速增加。這個過程一直持續到最後一粒米不再彈跳，秤盤示數不再勻速增加，而是保持穩定。

用

$T_k = t_1 + 2 \sum_{i=2}^k t_i$

表示第

次彈跳發生的時刻，

$T_\infty$

表示第一粒米結束彈跳，開始積累的時刻。上述過程用圖象表示，是這樣：

三、米彈跳“嗨”了的情況

在正常情況下，第一粒米停止彈跳時，已經流出的米的總重量是小於一斤的（即

$T_\infty < T$

）。此後秤盤示數勻速增加（“穩態”），這才能讓米店老闆有機會在示數正好是一斤時關閉閥門。如果米的彈性特別好，在流出的米的總重量已經達到一斤時還未停止彈跳（

$T_\infty > T$

），那麼秤盤示數還處在跳變階段，米店老闆就無法掌握關閉閥門的時機了。不過，我們可以假設老闆依然在正確的時機（

時刻）關上了閥門，並研究一下在這種情況下秤盤的示數會如何變化。

可以想象，閥門關閉後，第一粒米還在不停地給秤盤帶來新的衝擊力，但同時最後一粒米已經在撤走舊的衝擊力了。從

至

$T_\infty$

這段時間，秤盤示數會忽增忽減，但都是跳變；從

$T_\infty$

至

$T_\infty + T$

這一段時間，秤盤示數會勻速增加，並伴有跳變式的減小。

按照衝擊力依次產生、消失的順序分析

至

$T_\infty$

這段時間內秤盤示數的變化，會很麻煩。我們換一個角度來思考：

衝擊力

的大小為

$g \lambda (t_k + t_{k+1})$

，它在

時刻出現，在

時刻消失。於是它可以用一個矩形窗函式表示：

$F_k(t) = g \lambda (t_k + t_{k+1}) \cdot [u(t - T_k) - u(t - T - T_k)]$

。

在秤盤上積累的米對秤盤的壓力，在

$T_\infty$

時刻出現並勻速增加，到

$T_\infty + T$

時刻達到最大值

$g \lambda T$

並不再變化。這可以用一個分段線性函式表示：

$F(t) = \left\{ \begin{array}{ll}0, & t < T_\infty \\g \lambda (t - T_\infty), & T_\infty \le t < T_\infty + T \\g \lambda T, & t \ge T_\infty + T\end{array} \right.$

秤盤示數等於上面所有這些力的總和。

用這種思路，可以畫出

$T_\infty > T$

的情況下秤盤示數隨時間變化的曲線，如下圖：

更新：

評論中@謝特提到了一種更變態的情況：閥門關閉時，第一粒米還沒落到秤盤上（即

）。用與第三節相同的分析方法，可以畫出下面的圖。注意到會有幾個時間段所有的米都在空中，不與秤盤接觸（第一次彈跳之前，第一、二次彈跳之間，以及第二、三次彈跳之間），此時秤盤示數為

。

標簽：秤盤示數彈跳衝擊力時刻

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