如何從幾何的角度理解二重積分到累次積分的轉化？

作者：由張敬信發表于收藏時間：2020-08-14

張敬信：【高等數學】二重積分化累次積分方法

一、

二重積分的理解

二重積分的一般表示如下：

$I = \iint\limits_D f(x,y) \mathrm{d} \sigma$

它最佳的理解方式是——平面薄片的質量，即平面薄片佔據平面區域

，在點

處的面密度為

，整個平面薄片的總質量就是將

累積遍整個平面區域

。

當然，二重積分也是一個“分割、近似、求和、取極限”的過程，將該過程壓縮成一步到位，就是“二重積分”運算：

$\lim\limits_{\lambda \to 0} \sum\limits_{i=1}^n f(\xi_i, \eta_i) \Delta \sigma_i \triangleq \iint\limits_D f(x,y) \mathrm{d} \sigma$

注1

：

$\lambda$

取所有

$\Delta \sigma_i$

直徑的最大值，該極限比一般極限要複雜的多（多了對任意分割）；

注2

：經過該過程，二重積分已經是一個精確值（不均勻平面薄片的精確質量）了；

注3

：既然是任意分割，在直角座標系下，按水平豎直分割，則微元面積

$\mathrm{d} \sigma = \mathrm{d} x \mathrm{d} y$

：

所以，二重積分也寫為：

$\iint\limits_D f(x,y) \mathrm{d} \sigma = \iint\limits_D f(x,y) \mathrm{d} x \mathrm{d} y$

二、

計算二重積分的基本原理

直角座標下的二重積分

二重積分是

在區域

上累積而得，而且與累積路徑無關（二重積分定義保證），也就是說怎麼累積遍下圖中的小原點都是可以的：

那就選擇一種規則的累積法：先豎著累積“小細帶”，對每個

，把所有的

累積起來，記為

$A(x) = \int_{y_1(x)}^{y_2(x)} f(x,y) \mathrm{d} y$

再把所有“小細帶”橫著累積起來，得到

$I = \int_a^b A(x)\mathrm{d}x$

於是，

$\begin{eqnarray*} I = \iint\limits_D f(x,y) \mathrm{d} \sigma &=& \int_a^b \Big[ \int_{y_1(x)}^{y_2(x)} f(x,y) \mathrm{d} y \Big] \mathrm{d} x \\ &\xrightarrow{換個寫法}& \int_a^b \mathrm{d} x \int_{y_1(x)}^{y_2(x)} f(x,y) \mathrm{d} y \end{eqnarray*}$

當然換個方向考慮（先橫著累積，再豎著累積）也是可以的，就得到：

$\begin{eqnarray*} I = \iint\limits_D f(x,y) \mathrm{d} \sigma &=& \int_c^d \Big[ \int_{x_1(y)}^{x_2(y)} f(x,y) \mathrm{d} x \Big] \mathrm{d} y \\ &\xrightarrow{換個寫法}& \int_c^d \mathrm{d} y \int_{x_1(y)}^{x_2(y)} f(x,y) \mathrm{d} x \end{eqnarray*}$

綜上，二重積分轉化為累次積分，是將不方便直接計算的二重積分轉化成方便計算的做兩次定積分。

2. 極座標下的二重積分

注意，影響上述計算的只有被積函式和積分割槽域的表示式。那麼，若積分割槽域或被積函式在直角座標系下，仍不方便計算呢？比如帶

項。那就再轉化為極座標系下就方便計算了。

比如，這樣一個區域：

用直角座標

表示很困難，但換成極座標則是非常簡單的“矩形”：

$\theta \in [\alpha,\beta], \quad \rho \in [a,b]$

所以，在極座標系下，既然積分割槽域可以任意分割，那就按原點射線、圓環方向分割。此時，微元面積

$\mathrm{d} \sigma$

怎麼計算？

注意到，微元

$\mathrm{d} \sigma$

很小，則圓弧邊可近似看成直線，該面積可近似按“長×寬”來算：

$\rm{d} \sigma \approx \rho \rm{d} \theta \cdot \rm{d} \rho$

其中，

$\rho \rm{d} \theta$

就是那段弧長，這裡雖然是

$\approx$

，但二重積分過程（分割、取極限）就能變成

。

因此，就有了二重積分化極座標公式：

$\iint\limits_D f(x,y) \mathrm{d} \sigma = \iint\limits_{D$

其中，

是

的極座標表示。

注

：實際上從直角座標系到極座標系的轉化，是做了一種變換：

$\left\{ \! \begin{array}{l} x = \rho \cos \theta \\ y = \rho \sin \theta \end{array} \right.$

則

$\iint\limits_D f(x,y) \mathrm{d} \sigma = \iint\limits_{D$

其中，該變換的雅可比行列式恰好等於

$\rho$

而已：

$\frac{\partial (x,y)}{\partial (\rho ,\theta )} = \begin{vmatrix} \frac{\partial x}{\partial \rho} & \frac{\partial x}{\partial \theta} \\ \frac{\partial y}{\partial \rho} & \frac{\partial y}{\partial \theta} \end{vmatrix} = \rho$

三、二重積分化累次積分的通用方法

根據前文原理：二重積分是在一塊二維的積分割槽域上，對被積函式做累積；無論採用哪種二重積分化累次積分的方式，關鍵是要

把積分割槽域用兩個積分變數的範圍“精確”的表示出來。

一旦表示出來，順手就能寫成累次積分，二重積分的計算就只剩下計算兩次定積分。

兩個積分變數的積分割槽域，一定可以用這兩個變數的範圍“精確”表示出來，誰在先誰在後都行，這樣就必有兩種表示法：以直角座標為例，就是

• 先

後

• 先

後

這兩種表示也保證了，二重積分必能按兩種方式轉化為累次積分。

這兩種表示的規則也很統一和簡單，找到兩個變數的變化範圍即可：

先看變數的範圍是數值範圍是： [最小值，最大值]；

後看變數的範圍是： [小的一側曲線，大的一側曲線]；

若某一側曲線不能統一寫為一個表示式，則對“先看變數”分段處理

。

這個規則同樣適用於極座標，當然極座標下的變數的“大和小”需要專門學會區分。

極座標下，積分割槽域也用直角座標來畫，從極座標的角度來看即可。

角度

$\theta$

，從

度（

軸正向）逆時針到

$2 \pi$

，來看從小到大（用過原點的射線，角的終邊衡量）；

極徑

$\rho$

，代表的是點到原點的距離，所以是從原點（最小極徑

），到外側圓環來看從小到大。具體操作在角度

$\theta$

的兩條射線（終邊）輔助下，從小的一側曲線到大的一側曲線，就是從內圈曲線，到外圈曲線。

以上原理非常簡單，你只需要記住上述原則（已加粗），會正確地區分積分變數的大和小。

四、例題演示

下面用兩道例題，幫你學會該方法。為了清楚，我寫了很囉嗦的解釋，上手之後只寫每步結果就很簡潔了。

例1

計算

$\iint\limits_D xy \,\rm{d} \sigma$

，其中

為拋物線

與直線

所圍成的區域。

解

：（1）先畫出積分割槽域

（2） “精確”表示區域

方法一

：先

後

“先看變數”

是數值範圍：［最小值，最大值］，

是下邊小上邊大，最小值在

點

處取到，最大值在

點

處取到，故

$y \in [-1,2]$

看一下所確定的範圍：

可見，從

軸方向來看，積分割槽域

落在這兩條橫線中間。

“後看變數”

範圍是：［小的一側曲線，大的一側曲線］，

是左側小右側大，所以是從左側曲線

$\widehat{AOB}$

到右側曲線

$\overline{AB}$

左側曲線

$\widehat{AOB}$

的表示式為：

$y^2=x \xrightarrow{變形} x = y^2$

右側曲線

$\overline{AB}$

的表示式為：

$y=x-2 \xrightarrow{變形} x = y+2$

於是，

$x \in [y^2, y+2]$

注意：下方直線

#FormatImgID_89#

，上方直線

#FormatImgID_90#

, 左側曲線

#FormatImgID_91#

, 右側曲線

#FormatImgID_92#

, 恰好確定積分割槽域

#FormatImgID_93#

, 即所謂的積分割槽域

#FormatImgID_94#

“精確”表示。

因此，二重積分可化為如下的累次積分：

$\iint\limits_D xy \,\rm{d} \sigma =\int_{-1} ^2 \rm{d} y \int_{y^2}^{y+2} x y \rm{d} x$

方法二

：先

後

“先看變數”

是數值範圍：［最小值，最大值］，

是左邊小右邊大，最小值在原點

處取到，最大值在

點

處取到，故

$x \in [0,4]$

看一下所確定的範圍：

可見，從

軸方向來看，積分割槽域

落在這兩條豎線中間。

“後看變數”

範圍是：［小的一側曲線，大的一側曲線］，

是下方小上方大，所以是從下方曲線

$\widehat{OA}+\overline{AB}$

到上方曲線

$\widehat{OB}$

。

顯然，下方曲線

$\widehat{OA}+\overline{AB}$

不能統一用一個表示式表示，所以必須對

$x \in [0,4]$

分段，要以

點作為分界點，注意到

點座標為

，故

$x \in [0,4] = [0,1] \cup [1,4]$

再給圖形增加

輔助線，積分割槽域

也被分為

和

：

（i）對

區域，

$x \in [0,1]$

：

小的一側曲線為

$\widehat{OA}$

，其表示為

$y^2=x \xrightarrow{變形} y = -\sqrt{x}$

大的一側曲線為

$\widehat{OC}$

，其表示為

$y^2=x \xrightarrow{變形} y = \sqrt{x}$

故

$y \in [- \sqrt{x}, \sqrt{x}]$

。

（ii）對

區域，

$x \in [1,4]$

：

小的一側曲線為

$\overline{AB}$

，其表示為

大的一側曲線為

$\widehat{CB}$

，其表示為

$y^2=x \xrightarrow{變形} y = \sqrt{x}$

故

$y \in [x-2, \sqrt{x}]$

。

因此，二重積分可化為如下累次積分：

$\iint\limits_D xy \,\rm{d} \sigma =\int_0 ^1 \rm{d} x \int_{-\sqrt{x}}^{\sqrt{x}} x y \rm{d} y + \int_1 ^4 \rm{d} x \int_{x-2}^{\sqrt{x}} x y \rm{d} y$

（3）計算（略）。

注

：實際中不用特意區分，直接“先

後

”，若不好算（需要分段或求積分困難），再“先

後

”即可。

例2

在極座標下交換積分次序：

$I = \int_{ - \frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{2}} {\rm{d}} \theta \int_0^{2\cos \theta } f(\rho \cos \theta ,\rho \sin \theta )\rho {\rm{d}}\rho$

解

：（1）積分割槽域為“先

$\theta$

後

$\rho$

”表示：

$\theta \in \big[ -\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2} \big], \quad \rho \in [0, 2 \cos \theta]$

（2）在直角座標系畫出積分割槽域

先處理邊界曲線：

$\begin{eqnarray*} \rho=2\cos \theta &\xrightarrow{變形}& \rho^2=2 \rho \cos \theta \\ &\xrightarrow{變形}& x^2+y^2 = 2x \xrightarrow{變形} （x-1)^2+y^2=1 \end{eqnarray*}$

再結合

$\theta$

的範圍，得到積分割槽域

：

（3）改用“先

$\rho$

後

$\theta$

”表示

$\rho$

最小值是

（原點），最大值在點

處為

，故

$\rho \in [0,2]$

。

新增

$\rho=0$

（原點）和

$\rho=2$

輔助線，並標記若干點：

$\theta$

要從小的一側曲線（負角度一側，是

$\overline{OB}+\widehat{BA}$

），到大的一側曲線（是

$\widehat{OA}$

）。

顯然，

$\overline{OB}+\widehat{BA}$

不能統一用一個表示式

$\theta = \theta_1(\rho)$

表示，所以，必須對

$\rho \in [0,2]$

進行分段。要以

點對應的

$\rho$

值作為分界點，注意到

點座標為

，故

$\rho \in [0,2] = [0, \sqrt{2}] \cup [\sqrt{2}, 2]$

再給圖形加上

$\rho = \sqrt{2}$

輔助線，該輔助線也將積分割槽域

分為

和

：

（i）對

區域，

$\rho \in [0, \sqrt{2}]$

：

$\theta$

小的一側曲線為

$\overline{OB}$

，其表示為：

$\theta = - \frac{\pi}{4}$

$\theta$

大的一側曲線為

$\widehat{OC}$

，其表示為：

$\rho=2 \cos \theta \xrightarrow{變形} \theta = \arccos \frac{\rho}{2}$

故

$\theta \in \big[- \frac{\pi}{4}, \arccos \frac{\rho}{2} \big]$

。

（ii）對

區域，

$\rho \in [\sqrt{2}, 2]$

：

$\theta$

小的一側曲線為

$\widehat{BA}$

，其表示為：

$\rho=2 \cos \theta \xrightarrow{變形} \theta = -\arccos \frac{\rho}{2}$

$\theta$

大的一側曲線為

$\widehat{CA}$

，其表示為：

$\rho=2 \cos \theta \xrightarrow{變形} \theta = \arccos \frac{\rho}{2}$

故

$\theta \in \big[- \arccos \frac{\rho}{2} , \arccos \frac{\rho}{2} \big]$

因此，原二重積分可化為如下累次積分：

$I = \int_0^{\sqrt 2 } {\rm{d}}\rho \int_{ - \frac{\pi }{4}}^{\arccos \frac{\rho }{2}} f(\rho \cos \theta ,\rho \sin \theta )\rho {\rm{d}}\theta + \int_{\sqrt 2 }^2 {{\rm{d}}\rho } \int_{ - \arccos \frac{\rho }{2}}^{\arccos \frac{\rho }{2}} f(\rho \cos \theta ,\rho \sin \theta )\rho {\rm{d}}\theta$